Перейти к содержанию

14.6   Задача о расстоянии редактирования

Расстояние редактирования, также называемое расстоянием Левенштейна, обозначает минимальное число правок, необходимых для взаимного преобразования двух строк. Обычно оно используется для измерения сходства двух последовательностей в информационном поиске и обработке естественного языка.

Question

Даны две строки \(s\) и \(t\) . Верните минимальное число шагов редактирования, необходимое для преобразования \(s\) в \(t\) .

Для строки допускаются три операции редактирования: вставка одного символа, удаление одного символа и замена одного символа на произвольный другой символ.

Как показано на рисунке 14-27, для преобразования kitten в sitting требуется 3 шага редактирования: 2 операции замены и 1 операция вставки; для преобразования hello в algo также требуется 3 шага: 2 замены и 1 удаление.

Пример данных для задачи о расстоянии редактирования

Рисунок 14-27   Пример данных для задачи о расстоянии редактирования

Задачу о расстоянии редактирования можно очень естественно описать через модель дерева решений. Строки соответствуют узлам дерева, а один раунд решения (одна операция редактирования) соответствует одному ребру дерева.

Как показано на рисунке 14-28, если не ограничивать число операций, то каждый узел может порождать множество ребер, и каждое из них соответствует одному из вариантов преобразования. Это означает, что преобразовать hello в algo можно множеством разных путей.

С точки зрения дерева решений цель этой задачи - найти кратчайший путь между узлом hello и узлом algo .

Представление задачи о расстоянии редактирования через дерево решений

Рисунок 14-28   Представление задачи о расстоянии редактирования через дерево решений

1.   Идея динамического программирования

Шаг 1: продумать решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу \(dp\)

На каждом раунде решение состоит в выполнении одной операции редактирования над строкой \(s\) .

Нам нужно, чтобы в ходе выполнения операций размер задачи постепенно уменьшался; только тогда можно строить подзадачи. Пусть длины строк \(s\) и \(t\) равны соответственно \(n\) и \(m\) ; сначала рассмотрим последние символы этих строк, то есть \(s[n-1]\) и \(t[m-1]\) .

  • Если \(s[n-1]\) и \(t[m-1]\) совпадают, их можно просто пропустить и сразу перейти к сравнению \(s[n-2]\) и \(t[m-2]\) .
  • Если \(s[n-1]\) и \(t[m-1]\) различны, нужно выполнить над \(s\) одну операцию редактирования (вставку, удаление или замену), чтобы последние символы стали одинаковыми, после чего можно перейти к задаче меньшего размера.

Иначе говоря, каждое решение (операция редактирования), которое мы выполняем над строкой \(s\) , меняет те символы, которые еще остаются несопоставленными в строках \(s\) и \(t\) . Поэтому состояние определяется текущими позициями рассматриваемых символов в \(s\) и \(t\) , то есть состоянием \([i, j]\) .

Подзадача, соответствующая состоянию \([i, j]\) , такова: минимальное число операций редактирования, необходимое для преобразования первых \(i\) символов строки \(s\) в первые \(j\) символов строки \(t\).

Отсюда получается двумерная таблица \(dp\) размера \((i+1) \times (j+1)\) .

Шаг 2: найти оптимальную подструктуру и на ее основе вывести уравнение перехода состояния

Рассмотрим подзадачу \(dp[i, j]\) . Ее последние символы - это \(s[i-1]\) и \(t[j-1]\) . В зависимости от операции редактирования возможны три случая, показанные на рисунке 14-29.

  1. Вставить после \(s[i-1]\) символ \(t[j-1]\) ; тогда остается подзадача \(dp[i, j-1]\) .
  2. Удалить \(s[i-1]\) ; тогда остается подзадача \(dp[i-1, j]\) .
  3. Заменить \(s[i-1]\) на \(t[j-1]\) ; тогда остается подзадача \(dp[i-1, j-1]\) .

Переходы состояния в задаче о расстоянии редактирования

Рисунок 14-29   Переходы состояния в задаче о расстоянии редактирования

Согласно этому анализу оптимальная подструктура такова: минимальное число шагов редактирования для \(dp[i, j]\) равно минимуму из трех значений - \(dp[i, j-1]\) , \(dp[i-1, j]\) и \(dp[i-1, j-1]\) - плюс цена текущей операции редактирования \(1\) . Значит, уравнение перехода состояния имеет вид:

\[ dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1 \]

Заметим, что если символы \(s[i-1]\) и \(t[j-1]\) совпадают, то редактировать текущий символ не нужно. В этом случае уравнение перехода состояния имеет вид:

\[ dp[i, j] = dp[i-1, j-1] \]

Шаг 3: определить граничные условия и порядок переходов

Когда обе строки пусты, число операций редактирования равно \(0\) , то есть \(dp[0, 0] = 0\) . Когда строка \(s\) пуста, а строка \(t\) непуста, минимальное число операций равно длине строки \(t\) , то есть вся первая строка инициализируется как \(dp[0, j] = j\) . Когда строка \(s\) непуста, а строка \(t\) пуста, минимальное число операций равно длине строки \(s\) , то есть весь первый столбец инициализируется как \(dp[i, 0] = i\) .

Из уравнения перехода видно, что решение \(dp[i, j]\) зависит от значений слева, сверху и слева сверху, поэтому всю таблицу \(dp\) можно обходить двумя вложенными циклами в прямом порядке.

2.   Реализация кода

edit_distance.py
def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
    """Редакционное расстояние: динамическое программирование"""
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    # Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, m + 1):
        dp[0][j] = j
    # Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                # Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                # Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
    return dp[n][m]
edit_distance.cpp
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
int editDistanceDP(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.java
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
int editDistanceDP(String s, String t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.cs
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
int EditDistanceDP(string s, string t) {
    int n = s.Length, m = t.Length;
    int[,] dp = new int[n + 1, m + 1];
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i, 0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0, j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1];
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i, j] = Math.Min(Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]), dp[i - 1, j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n, m];
}
edit_distance.go
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
func editDistanceDP(s string, t string) int {
    n := len(s)
    m := len(t)
    dp := make([][]int, n+1)
    for i := 0; i <= n; i++ {
        dp[i] = make([]int, m+1)
    }
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for i := 1; i <= n; i++ {
        dp[i][0] = i
    }
    for j := 1; j <= m; j++ {
        dp[0][j] = j
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 1; j <= m; j++ {
            if s[i-1] == t[j-1] {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] = MinInt(MinInt(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]) + 1
            }
        }
    }
    return dp[n][m]
}
edit_distance.swift
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
func editDistanceDP(s: String, t: String) -> Int {
    let n = s.utf8CString.count
    let m = t.utf8CString.count
    var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: m + 1), count: n + 1)
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for i in 1 ... n {
        dp[i][0] = i
    }
    for j in 1 ... m {
        dp[0][j] = j
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for i in 1 ... n {
        for j in 1 ... m {
            if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1
            }
        }
    }
    return dp[n][m]
}
edit_distance.js
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
function editDistanceDP(s, t) {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(m + 1).fill(0));
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] =
                    Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.ts
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
function editDistanceDP(s: string, t: string): number {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () =>
        Array.from({ length: m + 1 }, () => 0)
    );
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] =
                    Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.dart
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
int editDistanceDP(String s, String t) {
  int n = s.length, m = t.length;
  List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (_) => List.filled(m + 1, 0));
  // Переход состояний: первая строка и первый столбец
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    dp[i][0] = i;
  }
  for (int j = 1; j <= m; j++) {
    dp[0][j] = j;
  }
  // Переход состояний: остальные строки и столбцы
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
        // Если два символа равны, сразу пропустить их
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
      } else {
        // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
        dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
      }
    }
  }
  return dp[n][m];
}
edit_distance.rs
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
fn edit_distance_dp(s: &str, t: &str) -> i32 {
    let (n, m) = (s.len(), t.len());
    let mut dp = vec![vec![0; m + 1]; n + 1];
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for i in 1..=n {
        dp[i][0] = i as i32;
    }
    for j in 1..m {
        dp[0][j] = j as i32;
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for i in 1..=n {
        for j in 1..=m {
            if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] =
                    std::cmp::min(std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    dp[n][m]
}
edit_distance.c
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
int editDistanceDP(char *s, char *t, int n, int m) {
    int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i] = calloc(m + 1, sizeof(int));
    }
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] = myMin(myMin(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    int res = dp[n][m];
    // Освободить память
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    return res;
}
edit_distance.kt
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование */
fun editDistanceDP(s: String, t: String): Int {
    val n = s.length
    val m = t.length
    val dp = Array(n + 1) { IntArray(m + 1) }
    // Переход состояний: первая строка и первый столбец
    for (i in 1..n) {
        dp[i][0] = i
    }
    for (j in 1..m) {
        dp[0][j] = j
    }
    // Переход состояний: остальные строки и столбцы
    for (i in 1..n) {
        for (j in 1..m) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1
            }
        }
    }
    return dp[n][m]
}
edit_distance.rb
### Редакционное расстояние: динамическое программирование ###
def edit_distance_dp(s, t)
  n, m = s.length, t.length
  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(m + 1, 0) }
  # Переход состояний: первая строка и первый столбец
  (1...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = i }
  (1...(m + 1)).each { |j| dp[0][j] = j }
  # Переход состояний: остальные строки и столбцы
  for i in 1...(n + 1)
    for j in 1...(m +1)
      if s[i - 1] == t[j - 1]
        # Если два символа равны, сразу пропустить их
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
      else
        # Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
        dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]].min + 1
      end
    end
  end
  dp[n][m]
end
Визуализация кода

Как показано на рисунке 14-30, процесс переходов состояния в задаче о расстоянии редактирования очень похож на процесс в задачах о рюкзаке: в обоих случаях это заполнение двумерной сетки.

Процесс динамического программирования для расстояния редактирования

edit_distance_dp_step2

edit_distance_dp_step3

edit_distance_dp_step4

edit_distance_dp_step5

edit_distance_dp_step6

edit_distance_dp_step7

edit_distance_dp_step8

edit_distance_dp_step9

edit_distance_dp_step10

edit_distance_dp_step11

edit_distance_dp_step12

edit_distance_dp_step13

edit_distance_dp_step14

edit_distance_dp_step15

Рисунок 14-30   Процесс динамического программирования для расстояния редактирования

3.   Оптимизация пространства

Поскольку \(dp[i,j]\) зависит от значения сверху \(dp[i-1, j]\) , слева \(dp[i, j-1]\) и слева сверху \(dp[i-1, j-1]\) , прямой обход после оптимизации памяти теряет значение слева сверху, а обратный обход не позволяет заранее построить значение слева \(dp[i, j-1]\) . Значит, оба наивных варианта обхода здесь непригодны.

Чтобы решить эту проблему, можно использовать переменную leftup для временного сохранения значения слева сверху \(dp[i-1, j-1]\) ; после этого остается учитывать только верхнее и левое значения. Тогда ситуация становится эквивалентной задаче о полном рюкзаке, и можно выполнять прямой обход. Код приведен ниже:

edit_distance.py
def edit_distance_dp_comp(s: str, t: str) -> int:
    """Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти"""
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [0] * (m + 1)
    # Переход состояний: первая строка
    for j in range(1, m + 1):
        dp[j] = j
    # Переход состояний: остальные строки
    for i in range(1, n + 1):
        # Переход состояний: первый столбец
        leftup = dp[0]  # Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] += 1
        # Переход состояний: остальные столбцы
        for j in range(1, m + 1):
            temp = dp[j]
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                # Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup
            else:
                # Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1
            leftup = temp  # Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
    return dp[m]
edit_distance.cpp
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int editDistanceDPComp(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<int> dp(m + 1, 0);
    // Переход состояний: первая строка
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // Переход состояний: первый столбец
        int leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.java
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    int[] dp = new int[m + 1];
    // Переход состояний: первая строка
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // Переход состояний: первый столбец
        int leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.cs
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int EditDistanceDPComp(string s, string t) {
    int n = s.Length, m = t.Length;
    int[] dp = new int[m + 1];
    // Переход состояний: первая строка
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // Переход состояний: первый столбец
        int leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = Math.Min(Math.Min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.go
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
func editDistanceDPComp(s string, t string) int {
    n := len(s)
    m := len(t)
    dp := make([]int, m+1)
    // Переход состояний: первая строка
    for j := 1; j <= m; j++ {
        dp[j] = j
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for i := 1; i <= n; i++ {
        // Переход состояний: первый столбец
        leftUp := dp[0] // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for j := 1; j <= m; j++ {
            temp := dp[j]
            if s[i-1] == t[j-1] {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftUp
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = MinInt(MinInt(dp[j-1], dp[j]), leftUp) + 1
            }
            leftUp = temp // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m]
}
edit_distance.swift
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
func editDistanceDPComp(s: String, t: String) -> Int {
    let n = s.utf8CString.count
    let m = t.utf8CString.count
    var dp = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    // Переход состояний: первая строка
    for j in 1 ... m {
        dp[j] = j
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for i in 1 ... n {
        // Переход состояний: первый столбец
        var leftup = dp[0] // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for j in 1 ... m {
            let temp = dp[j]
            if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1
            }
            leftup = temp // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m]
}
edit_distance.js
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
function editDistanceDPComp(s, t) {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = new Array(m + 1).fill(0);
    // Переход состояний: первая строка
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // Переход состояний: первый столбец
        let leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            const temp = dp[j];
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.ts
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
function editDistanceDPComp(s: string, t: string): number {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = new Array(m + 1).fill(0);
    // Переход состояний: первая строка
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // Переход состояний: первый столбец
        let leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            const temp = dp[j];
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.dart
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
  int n = s.length, m = t.length;
  List<int> dp = List.filled(m + 1, 0);
  // Переход состояний: первая строка
  for (int j = 1; j <= m; j++) {
    dp[j] = j;
  }
  // Переход состояний: остальные строки
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    // Переход состояний: первый столбец
    int leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
    dp[0] = i;
    // Переход состояний: остальные столбцы
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      int temp = dp[j];
      if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
        // Если два символа равны, сразу пропустить их
        dp[j] = leftup;
      } else {
        // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
        dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
      }
      leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
    }
  }
  return dp[m];
}
edit_distance.rs
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
fn edit_distance_dp_comp(s: &str, t: &str) -> i32 {
    let (n, m) = (s.len(), t.len());
    let mut dp = vec![0; m + 1];
    // Переход состояний: первая строка
    for j in 1..m {
        dp[j] = j as i32;
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for i in 1..=n {
        // Переход состояний: первый столбец
        let mut leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i as i32;
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for j in 1..=m {
            let temp = dp[j];
            if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = std::cmp::min(std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    dp[m]
}
edit_distance.c
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int editDistanceDPComp(char *s, char *t, int n, int m) {
    int *dp = calloc(m + 1, sizeof(int));
    // Переход состояний: первая строка
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // Переход состояний: первый столбец
        int leftup = dp[0]; // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = myMin(myMin(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    int res = dp[m];
    // Освободить память
    free(dp);
    return res;
}
edit_distance.kt
/* Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
fun editDistanceDPComp(s: String, t: String): Int {
    val n = s.length
    val m = t.length
    val dp = IntArray(m + 1)
    // Переход состояний: первая строка
    for (j in 1..m) {
        dp[j] = j
    }
    // Переход состояний: остальные строки
    for (i in 1..n) {
        // Переход состояний: первый столбец
        var leftup = dp[0] // Временно сохранить dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i
        // Переход состояний: остальные столбцы
        for (j in 1..m) {
            val temp = dp[j]
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // Если два символа равны, сразу пропустить их
                dp[j] = leftup
            } else {
                // Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
                dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1
            }
            leftup = temp // Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
        }
    }
    return dp[m]
}
edit_distance.rb
### Редакционное расстояние: динамическое программирование с оптимизацией памяти ###
def edit_distance_dp_comp(s, t)
  n, m = s.length, t.length
  dp = Array.new(m + 1, 0)
  # Переход состояний: первая строка
  (1...(m + 1)).each { |j| dp[j] = j }
  # Переход состояний: остальные строки
  for i in 1...(n + 1)
    # Переход состояний: первый столбец
    leftup = dp.first # Временно сохранить dp[i-1, j-1]
    dp[0] += 1
    # Переход состояний: остальные столбцы
    for j in 1...(m + 1)
      temp = dp[j]
      if s[i - 1] == t[j - 1]
        # Если два символа равны, сразу пропустить их
        dp[j] = leftup
      else
        # Минимальное число шагов редактирования = минимальное число шагов для вставки, удаления и замены + 1
        dp[j] = [dp[j - 1], dp[j], leftup].min + 1
      end
      leftup = temp # Обновить до значения dp[i-1, j-1] для следующей итерации
    end
  end
  dp[m]
end
Визуализация кода

Оставляйте свои идеи, вопросы и предложения в комментариях