8.2 建堆操作¶
在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。
8.2.1 借助入堆操作实现¶
我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。
设元素数量为 \(n\) ，每个元素的入堆操作使用 \(O(\log{n})\) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
8.2.2 通过遍历堆化实现¶
实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。
- 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
- 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。
之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。
值得说明的是，由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化：
/* 构造函数，根据切片建堆 */
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
// 所有元素入堆
MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
maxHeap->size = size;
memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
siftDown(maxHeap, i);
}
return maxHeap;
}
/* 大顶堆 */
class MaxHeap(nums: MutableList<Int>?) {
// 使用列表而非数组，这样无须考虑扩容问题
private val maxHeap = mutableListOf<Int>()
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
init {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap.addAll(nums!!)
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (i in parent(size() - 1) downTo 0) {
siftDown(i)
}
}
/* 获取左子节点的索引 */
private fun left(i: Int): Int {
return 2 * i + 1
}
/* 获取右子节点的索引 */
private fun right(i: Int): Int {
return 2 * i + 2
}
/* 获取父节点的索引 */
private fun parent(i: Int): Int {
return (i - 1) / 2 // 向下整除
}
/* 交换元素 */
private fun swap(i: Int, j: Int) {
val temp = maxHeap[i]
maxHeap[i] = maxHeap[j]
maxHeap[j] = temp
}
/* 获取堆大小 */
fun size(): Int {
return maxHeap.size
}
/* 判断堆是否为空 */
fun isEmpty(): Boolean {
/* 判断堆是否为空 */
return size() == 0
}
/* 访问堆顶元素 */
fun peek(): Int {
return maxHeap[0]
}
/* 元素入堆 */
fun push(_val: Int) {
// 添加节点
maxHeap.add(_val)
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1)
}
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
private fun siftUp(it: Int) {
// Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量
var i = it
while (true) {
// 获取节点 i 的父节点
val p = parent(i)
// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
// 交换两节点
swap(i, p)
// 循环向上堆化
i = p
}
}
/* 元素出堆 */
fun pop(): Int {
// 判空处理
if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
swap(0, size() - 1)
// 删除节点
val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
// 从顶至底堆化
siftDown(0)
// 返回堆顶元素
return _val
}
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
private fun siftDown(it: Int) {
// Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量
var i = it
while (true) {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
val l = left(i)
val r = right(i)
var ma = i
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
if (ma == i) break
// 交换两节点
swap(i, ma)
// 循环向下堆化
i = ma
}
}
/* 打印堆（二叉树） */
fun print() {
val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
queue.addAll(maxHeap)
printHeap(queue)
}
}
// 构造方法，根据输入列表建堆
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
if (self.max_heap != null) return;
self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
// 将列表元素原封不动添加进堆
try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
while (i > 0) : (i -= 1) {
try self.siftDown(i - 1);
}
}
可视化运行
8.2.3 复杂度分析¶
下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。
- 假设完全二叉树的节点数量为 \(n\) ，则叶节点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 \((n - 1) / 2\) 。
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(\log n\) 。
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。
接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 \(n\) 、高度为 \(h\) 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
图 8-5 完美二叉树的各层节点数量
如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 \(\times\) 节点高度”求和，得到所有节点的堆化迭代次数的总和。
化简上式需要借助中学的数列知识，先将 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，得到：
使用错位相减法，用下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得：
观察上式，发现 \(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
进一步，高度为 \(h\) 的完美二叉树的节点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。