9.3   图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：广度优先遍历和深度优先遍历。

9.3.1   广度优先遍历

广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

图 9-9   图的广度优先遍历

1.   算法实现

BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。

1. 将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
3. 循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完毕后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些节点已被访问。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

graph_bfs.py

def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """广度优先遍历"""
    # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]([start_vet])
    # 队列用于实现 BFS
    que = deque[Vertex]([start_vet])
    # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while len(que) > 0:
        vet = que.popleft()  # 队首顶点出队
        res.append(vet)  # 记录访问顶点
        # 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
            if adj_vet in visited:
                continue  # 跳过已被访问的顶点
            que.append(adj_vet)  # 只入队未访问的顶点
            visited.add(adj_vet)  # 标记该顶点已被访问
    # 返回顶点遍历序列
    return res

graph_bfs.cpp

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex *> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
    // 队列用于实现 BFS
    queue<Vertex *> que;
    que.push(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.empty()) {
        Vertex *vet = que.front();
        que.pop();          // 队首顶点出队
        res.push_back(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
            if (visited.count(adjVet))
                continue;            // 跳过已被访问的顶点
            que.push(adjVet);        // 只入队未访问的顶点
            visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.java

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
    que.offer(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.isEmpty()) {
        Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
        res.add(vet);            // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue;        // 跳过已被访问的顶点
            que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.cs

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> GraphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    HashSet<Vertex> visited = [startVet];
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new();
    que.Enqueue(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.Count > 0) {
        Vertex vet = que.Dequeue(); // 队首顶点出队
        res.Add(vet);               // 记录访问顶点
        foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
            if (visited.Contains(adjVet)) {
                continue;          // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.Enqueue(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.Add(adjVet);   // 标记该顶点已被访问
        }
    }

    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.go

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    visited[startVet] = struct{}{}
    // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
    queue := make([]Vertex, 0)
    queue = append(queue, startVet)
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    for len(queue) > 0 {
        // 队首顶点出队
        vet := queue[0]
        queue = queue[1:]
        // 记录访问顶点
        res = append(res, vet)
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
            _, isExist := visited[adjVet]
            // 只入队未访问的顶点
            if !isExist {
                queue = append(queue, adjVet)
                visited[adjVet] = struct{}{}
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

graph_bfs.swift

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = [startVet]
    // 队列用于实现 BFS
    var que: [Vertex] = [startVet]
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while !que.isEmpty {
        let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
        res.append(vet) // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
            if visited.contains(adjVet) {
                continue // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
            visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

graph_bfs.js

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.ts

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.push(adjVet); // 只入队未访问
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.dart

/* 广度优先遍历 */
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
  // 顶点遍历序列
  List<Vertex> res = [];
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  Set<Vertex> visited = {};
  visited.add(startVet);
  // 队列用于实现 BFS
  Queue<Vertex> que = Queue();
  que.add(startVet);
  // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
  while (que.isNotEmpty) {
    Vertex vet = que.removeFirst(); // 队首顶点出队
    res.add(vet); // 记录访问顶点
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
      if (visited.contains(adjVet)) {
        continue; // 跳过已被访问的顶点
      }
      que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点
      visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
    }
  }
  // 返回顶点遍历序列
  return res;
}

graph_bfs.rs

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 顶点遍历序列
    let mut res = vec![];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    let mut visited = HashSet::new();
    visited.insert(start_vet);
    // 队列用于实现 BFS
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(start_vet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while !que.is_empty() {
        let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点

        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
            for &adj_vet in adj_vets {
                if visited.contains(&adj_vet) {
                    continue; // 跳过已被访问的顶点
                }
                que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
                visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    res
}

graph_bfs.c

/* 节点队列结构体 */
typedef struct {
    Vertex *vertices[MAX_SIZE];
    int front, rear, size;
} Queue;

/* 构造函数 */
Queue *newQueue() {
    Queue *q = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
    q->front = q->rear = q->size = 0;
    return q;
}

/* 判断队列是否为空 */
int isEmpty(Queue *q) {
    return q->size == 0;
}

/* 入队操作 */
void enqueue(Queue *q, Vertex *vet) {
    q->vertices[q->rear] = vet;
    q->rear = (q->rear + 1) % MAX_SIZE;
    q->size++;
}

/* 出队操作 */
Vertex *dequeue(Queue *q) {
    Vertex *vet = q->vertices[q->front];
    q->front = (q->front + 1) % MAX_SIZE;
    q->size--;
    return vet;
}

/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **visited, int size, Vertex *vet) {
    // 遍历查找节点，使用 O(n) 时间
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (visited[i] == vet)
            return 1;
    }
    return 0;
}

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
void graphBFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize, Vertex **visited, int *visitedSize) {
    // 队列用于实现 BFS
    Queue *queue = newQueue();
    enqueue(queue, startVet);
    visited[(*visitedSize)++] = startVet;
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!isEmpty(queue)) {
        Vertex *vet = dequeue(queue); // 队首顶点出队
        res[(*resSize)++] = vet;      // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
        while (node != NULL) {
            // 跳过已被访问的顶点
            if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) {
                enqueue(queue, node->vertex);             // 只入队未访问的顶点
                visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // 标记该顶点已被访问
            }
            node = node->next;
        }
    }
    // 释放内存
    free(queue);
}

graph_bfs.kt

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): MutableList<Vertex?> {
    // 顶点遍历序列
    val res = mutableListOf<Vertex?>()
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    val visited = HashSet<Vertex>()
    visited.add(startVet)
    // 队列用于实现 BFS
    val que = LinkedList<Vertex>()
    que.offer(startVet)
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.isEmpty()) {
        val vet = que.poll() // 队首顶点出队
        res.add(vet)         // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue        // 跳过已被访问的顶点
            que.offer(adjVet)   // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet) // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

graph_bfs.rb

[class]{}-[func]{graph_bfs}

graph_bfs.zig

[class]{}-[func]{graphBFS}

可视化运行

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代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11>

图 9-10   图的广度优先遍历步骤

广度优先遍历的序列是否唯一？

不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱。以图 9-10 为例，顶点 \(1\)、\(3\) 的访问顺序可以交换，顶点 \(2\)、\(4\)、\(6\) 的访问顺序也可以任意交换。

2.   复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 \(O(|V|)\) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 \(|V|\) ，使用 \(O(|V|)\) 空间。

9.3.2   深度优先遍历

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

图 9-11   图的深度优先遍历

1.   算法实现

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

graph_dfs.py

def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
    """深度优先遍历辅助函数"""
    res.append(vet)  # 记录访问顶点
    visited.add(vet)  # 标记该顶点已被访问
    # 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adj_list[vet]:
        if adjVet in visited:
            continue  # 跳过已被访问的顶点
        # 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet)

def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """深度优先遍历"""
    # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]()
    dfs(graph, visited, res, start_vet)
    return res

graph_dfs.cpp

/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
    res.push_back(vet);   // 记录访问顶点
    visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
        if (visited.count(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex *> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex *> visited;
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.java

/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.cs

/* 深度优先遍历辅助函数 */
void DFS(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.Add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.Add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
        if (visited.Contains(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问的顶点                             
        }
        // 递归访问邻接顶点
        DFS(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> GraphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    HashSet<Vertex> visited = [];
    DFS(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.go

/* 深度优先遍历辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
    // append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
    *res = append(*res, vet)
    visited[vet] = struct{}{}
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
        _, isExist := visited[adjVet]
        // 递归访问邻接顶点
        if !isExist {
            dfs(g, visited, res, adjVet)
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    dfs(g, visited, &res, startVet)
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

graph_dfs.swift

/* 深度优先遍历辅助函数 */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
    res.append(vet) // 记录访问顶点
    visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
        if visited.contains(adjVet) {
            continue // 跳过已被访问的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = []
    dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
    return res
}

graph_dfs.js

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.ts

/* 深度优先遍历辅助函数 */
function dfs(
    graph: GraphAdjList,
    visited: Set<Vertex>,
    res: Vertex[],
    vet: Vertex
): void {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.dart

/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(
  GraphAdjList graph,
  Set<Vertex> visited,
  List<Vertex> res,
  Vertex vet,
) {
  res.add(vet); // 记录访问顶点
  visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
  // 遍历该顶点的所有邻接顶点
  for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
    if (visited.contains(adjVet)) {
      continue; // 跳过已被访问的顶点
    }
    // 递归访问邻接顶点
    dfs(graph, visited, res, adjVet);
  }
}

/* 深度优先遍历 */
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 顶点遍历序列
  List<Vertex> res = [];
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  Set<Vertex> visited = {};
  dfs(graph, visited, res, startVet);
  return res;
}

graph_dfs.rs

/* 深度优先遍历辅助函数 */
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问
                         // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
        for &adj_vet in adj_vets {
            if visited.contains(&adj_vet) {
                continue; // 跳过已被访问的顶点
            }
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adj_vet);
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 顶点遍历序列
    let mut res = vec![];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    let mut visited = HashSet::new();
    dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);

    res
}

graph_dfs.c

/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **res, int size, Vertex *vet) {
    // 遍历查找节点，使用 O(n) 时间
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (res[i] == vet) {
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList *graph, Vertex **res, int *resSize, Vertex *vet) {
    // 记录访问顶点
    res[(*resSize)++] = vet;
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
    while (node != NULL) {
        // 跳过已被访问的顶点
        if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) {
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, res, resSize, node->vertex);
        }
        node = node->next;
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
void graphDFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize) {
    dfs(graph, res, resSize, startVet);
}

graph_dfs.kt

/* 深度优先遍历辅助函数 */
fun dfs(
    graph: GraphAdjList,
    visited: MutableSet<Vertex?>,
    res: MutableList<Vertex?>,
    vet: Vertex?
) {
    res.add(vet)     // 记录访问顶点
    visited.add(vet) // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue  // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet)
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex?): MutableList<Vertex?> {
    // 顶点遍历序列
    val res = mutableListOf<Vertex?>()
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    val visited = HashSet<Vertex?>()
    dfs(graph, visited, res, startVet)
    return res
}

graph_dfs.rb

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graph_dfs}

graph_dfs.zig

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graphDFS}

可视化运行

全屏观看 >

深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。

• 直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
• 曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。

为了加深理解，建议将图 9-12 与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11>

图 9-12   图的深度优先遍历步骤

深度优先遍历的序列是否唯一？

与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。

以树的遍历为例，“根 \(\rightarrow\) 左 \(\rightarrow\) 右”“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”“左 \(\rightarrow\) 右 \(\rightarrow\) 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

2.   复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会被访问 \(1\) 次，使用 \(O(|V|)\) 时间；所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 \(|V|\) ，递归深度最大为 \(|V|\) ，因此使用 \(O(|V|)\) 空间。

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