跳转至

14.2   动态规划问题特性

在上一节中,我们学习了动态规划是如何通过子问题分解来求解原问题的。实际上,子问题分解是一种通用的算法思路,在分治、动态规划、回溯中的侧重点不同。

  • 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题,直至最小子问题,并在回溯中合并子问题的解,最终得到原问题的解。
  • 动态规划也对问题进行递归分解,但与分治算法的主要区别是,动态规划中的子问题是相互依赖的,在分解过程中会出现许多重叠子问题。
  • 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解,并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系列决策步骤构成,我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。

实际上,动态规划常用来求解最优化问题,它们不仅包含重叠子问题,还具有另外两大特性:最优子结构、无后效性。

14.2.1   最优子结构

我们对爬楼梯问题稍作改动,使之更加适合展示最优子结构概念。

爬楼梯最小代价

给定一个楼梯,你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶,每一阶楼梯上都贴有一个非负整数,表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 \(cost\) ,其中 \(cost[i]\) 表示在第 \(i\) 个台阶需要付出的代价,\(cost[0]\) 为地面(起始点)。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部?

如图 14-6 所示,若第 \(1\)\(2\)\(3\) 阶的代价分别为 \(1\)\(10\)\(1\) ,则从地面爬到第 \(3\) 阶的最小代价为 \(2\)

爬到第 3 阶的最小代价

图 14-6   爬到第 3 阶的最小代价

\(dp[i]\) 为爬到第 \(i\) 阶累计付出的代价,由于第 \(i\) 阶只可能从 \(i - 1\) 阶或 \(i - 2\) 阶走来,因此 \(dp[i]\) 只可能等于 \(dp[i - 1] + cost[i]\)\(dp[i - 2] + cost[i]\) 。为了尽可能减少代价,我们应该选择两者中较小的那一个:

\[ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i] \]

这便可以引出最优子结构的含义:原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的

本题显然具有最优子结构:我们从两个子问题最优解 \(dp[i-1]\)\(dp[i-2]\) 中挑选出较优的那一个,并用它构建出原问题 \(dp[i]\) 的最优解。

那么,上一节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢?它的目标是求解方案数量,看似是一个计数问题,但如果换一种问法:“求解最大方案数量”。我们意外地发现,虽然题目修改前后是等价的,但最优子结构浮现出来了:第 \(n\) 阶最大方案数量等于第 \(n-1\) 阶和第 \(n-2\) 阶最大方案数量之和。所以说,最优子结构的解释方式比较灵活,在不同问题中会有不同的含义。

根据状态转移方程,以及初始状态 \(dp[1] = cost[1]\)\(dp[2] = cost[2]\) ,我们就可以得到动态规划代码:

min_cost_climbing_stairs_dp.py
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost: list[int]) -> int:
    """爬楼梯最小代价:动态规划"""
    n = len(cost) - 1
    if n == 1 or n == 2:
        return cost[n]
    # 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    dp = [0] * (n + 1)
    # 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
    # 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    return dp[n]
min_cost_climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(vector<int> &cost) {
    int n = cost.size() - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    vector<int> dp(n + 1);
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.java
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
    int n = cost.length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.cs
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
int MinCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
    int n = cost.Length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.Min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.go
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
func minCostClimbingStairsDP(cost []int) int {
    n := len(cost) - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    min := func(a, b int) int {
        if a < b {
            return a
        }
        return b
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    dp := make([]int, n+1)
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1]
    dp[2] = cost[2]
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i := 3; i <= n; i++ {
        dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
    }
    return dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.swift
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
func minCostClimbingStairsDP(cost: [Int]) -> Int {
    let n = cost.count - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1]
    dp[2] = cost[2]
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in 3 ... n {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    }
    return dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.js
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
function minCostClimbingStairsDP(cost) {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    const dp = new Array(n + 1);
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.ts
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
function minCostClimbingStairsDP(cost: Array<number>): number {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    const dp = new Array(n + 1);
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.dart
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(List<int> cost) {
  int n = cost.length - 1;
  if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
  // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
  List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
  // 初始状态:预设最小子问题的解
  dp[1] = cost[1];
  dp[2] = cost[2];
  // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
  }
  return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rs
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp(cost: &[i32]) -> i32 {
    let n = cost.len() - 1;
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    let mut dp = vec![-1; n + 1];
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in 3..=n {
        dp[i] = cmp::min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.c
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(int cost[], int costSize) {
    int n = costSize - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    int *dp = calloc(n + 1, sizeof(int));
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = myMin(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    int res = dp[n];
    // 释放内存
    free(dp);
    return res;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.kt
/* 爬楼梯最小代价:动态规划 */
fun minCostClimbingStairsDP(cost: IntArray): Int {
    val n = cost.size - 1
    if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    val dp = IntArray(n + 1)
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1]
    dp[2] = cost[2]
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (i in 3..n) {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    }
    return dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rb
### 爬楼梯最小代价:动态规划 ###
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
  n = cost.length - 1
  return cost[n] if n == 1 || n == 2
  # 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
  dp = Array.new(n + 1, 0)
  # 初始状态:预设最小子问题的解
  dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
  # 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
  (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = [dp[i - 1], dp[i - 2]].min + cost[i] }
  dp[n]
end
min_cost_climbing_stairs_dp.zig
// 爬楼梯最小代价:动态规划
fn minCostClimbingStairsDP(comptime cost: []i32) i32 {
    comptime var n = cost.len - 1;
    if (n == 1 or n == 2) {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i] = @min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
可视化运行

图 14-7 展示了以上代码的动态规划过程。

爬楼梯最小代价的动态规划过程

图 14-7   爬楼梯最小代价的动态规划过程

本题也可以进行空间优化,将一维压缩至零维,使得空间复杂度从 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\)

min_cost_climbing_stairs_dp.py
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: list[int]) -> int:
    """爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划"""
    n = len(cost) - 1
    if n == 1 or n == 2:
        return cost[n]
    a, b = cost[1], cost[2]
    for i in range(3, n + 1):
        a, b = b, min(a, b) + cost[i]
    return b
min_cost_climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(vector<int> &cost) {
    int n = cost.size() - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.java
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
    int n = cost.length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.cs
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
int MinCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
    int n = cost.Length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = Math.Min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.go
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
func minCostClimbingStairsDPComp(cost []int) int {
    n := len(cost) - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    min := func(a, b int) int {
        if a < b {
            return a
        }
        return b
    }
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    a, b := cost[1], cost[2]
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i := 3; i <= n; i++ {
        tmp := b
        b = min(a, tmp) + cost[i]
        a = tmp
    }
    return b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.swift
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
func minCostClimbingStairsDPComp(cost: [Int]) -> Int {
    let n = cost.count - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    var (a, b) = (cost[1], cost[2])
    for i in 3 ... n {
        (a, b) = (b, min(a, b) + cost[i])
    }
    return b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.js
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
function minCostClimbingStairsDPComp(cost) {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    let a = cost[1],
        b = cost[2];
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.ts
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
function minCostClimbingStairsDPComp(cost: Array<number>): number {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    let a = cost[1],
        b = cost[2];
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.dart
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(List<int> cost) {
  int n = cost.length - 1;
  if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
  int a = cost[1], b = cost[2];
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    int tmp = b;
    b = min(a, tmp) + cost[i];
    a = tmp;
  }
  return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rs
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: &[i32]) -> i32 {
    let n = cost.len() - 1;
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n];
    };
    let (mut a, mut b) = (cost[1], cost[2]);
    for i in 3..=n {
        let tmp = b;
        b = cmp::min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.c
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int cost[], int costSize) {
    int n = costSize - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = myMin(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.kt
/* 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划 */
fun minCostClimbingStairsDPComp(cost: IntArray): Int {
    val n = cost.size - 1
    if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
    var a = cost[1]
    var b = cost[2]
    for (i in 3..n) {
        val tmp = b
        b = min(a, tmp) + cost[i]
        a = tmp
    }
    return b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rb
### 爬楼梯最小代价:动态规划 ###
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
  n = cost.length - 1
  return cost[n] if n == 1 || n == 2
  # 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
  dp = Array.new(n + 1, 0)
  # 初始状态:预设最小子问题的解
  dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
  # 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
  (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = [dp[i - 1], dp[i - 2]].min + cost[i] }
  dp[n]
end

# 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost)
  n = cost.length - 1
  return cost[n] if n == 1 || n == 2
  a, b = cost[1], cost[2]
  (3...(n + 1)).each { |i| a, b = b, [a, b].min + cost[i] }
  b
end
min_cost_climbing_stairs_dp.zig
// 爬楼梯最小代价:空间优化后的动态规划
fn minCostClimbingStairsDPComp(cost: []i32) i32 {
    var n = cost.len - 1;
    if (n == 1 or n == 2) {
        return cost[n];
    }
    var a = cost[1];
    var b = cost[2];
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (3..n + 1) |i| {
        var tmp = b;
        b = @min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
可视化运行

14.2.2   无后效性

无后效性是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一,其定义为:给定一个确定的状态,它的未来发展只与当前状态有关,而与过去经历的所有状态无关

以爬楼梯问题为例,给定状态 \(i\) ,它会发展出状态 \(i+1\) 和状态 \(i+2\) ,分别对应跳 \(1\) 步和跳 \(2\) 步。在做出这两种选择时,我们无须考虑状态 \(i\) 之前的状态,它们对状态 \(i\) 的未来没有影响。

然而,如果我们给爬楼梯问题添加一个约束,情况就不一样了。

带约束爬楼梯

给定一个共有 \(n\) 阶的楼梯,你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶,但不能连续两轮跳 \(1\),请问有多少种方案可以爬到楼顶?

如图 14-8 所示,爬上第 \(3\) 阶仅剩 \(2\) 种可行方案,其中连续三次跳 \(1\) 阶的方案不满足约束条件,因此被舍弃。

带约束爬到第 3 阶的方案数量

图 14-8   带约束爬到第 3 阶的方案数量

在该问题中,如果上一轮是跳 \(1\) 阶上来的,那么下一轮就必须跳 \(2\) 阶。这意味着,下一步选择不能由当前状态(当前所在楼梯阶数)独立决定,还和前一个状态(上一轮所在楼梯阶数)有关

不难发现,此问题已不满足无后效性,状态转移方程 \(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\) 也失效了,因为 \(dp[i-1]\) 代表本轮跳 \(1\) 阶,但其中包含了许多“上一轮是跳 \(1\) 阶上来的”方案,而为了满足约束,我们就不能将 \(dp[i-1]\) 直接计入 \(dp[i]\) 中。

为此,我们需要扩展状态定义:状态 \([i, j]\) 表示处在第 \(i\) 阶并且上一轮跳了 \(j\),其中 \(j \in \{1, 2\}\) 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 \(1\) 阶还是 \(2\) 阶,我们可以据此判断当前状态是从何而来的。

  • 当上一轮跳了 \(1\) 阶时,上上一轮只能选择跳 \(2\) 阶,即 \(dp[i, 1]\) 只能从 \(dp[i-1, 2]\) 转移过来。
  • 当上一轮跳了 \(2\) 阶时,上上一轮可选择跳 \(1\) 阶或跳 \(2\) 阶,即 \(dp[i, 2]\) 可以从 \(dp[i-2, 1]\)\(dp[i-2, 2]\) 转移过来。

如图 14-9 所示,在该定义下,\(dp[i, j]\) 表示状态 \([i, j]\) 对应的方案数。此时状态转移方程为:

\[ \begin{cases} dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2] \end{cases} \]

考虑约束下的递推关系

图 14-9   考虑约束下的递推关系

最终,返回 \(dp[n, 1] + dp[n, 2]\) 即可,两者之和代表爬到第 \(n\) 阶的方案总数:

climbing_stairs_constraint_dp.py
def climbing_stairs_constraint_dp(n: int) -> int:
    """带约束爬楼梯:动态规划"""
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    # 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
    # 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
    dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
    # 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
    return dp[n][1] + dp[n][2]
climbing_stairs_constraint_dp.cpp
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.java
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    int[][] dp = new int[n + 1][3];
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.cs
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
int ClimbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    int[,] dp = new int[n + 1, 3];
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1, 1] = 1;
    dp[1, 2] = 0;
    dp[2, 1] = 0;
    dp[2, 2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i, 1] = dp[i - 1, 2];
        dp[i, 2] = dp[i - 2, 1] + dp[i - 2, 2];
    }
    return dp[n, 1] + dp[n, 2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.go
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
func climbingStairsConstraintDP(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return 1
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    dp := make([][3]int, n+1)
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1
    dp[1][2] = 0
    dp[2][1] = 0
    dp[2][2] = 1
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i := 3; i <= n; i++ {
        dp[i][1] = dp[i-1][2]
        dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2]
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.swift
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
func climbingStairsConstraintDP(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return 1
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: 3), count: n + 1)
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1
    dp[1][2] = 0
    dp[2][1] = 0
    dp[2][2] = 1
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in 3 ... n {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.js
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
function climbingStairsConstraintDP(n) {
    if (n === 1 || n === 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    const dp = Array.from(new Array(n + 1), () => new Array(3));
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.ts
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
function climbingStairsConstraintDP(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(3));
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.dart
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) {
    return 1;
  }
  // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
  List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(3, 0));
  // 初始状态:预设最小子问题的解
  dp[1][1] = 1;
  dp[1][2] = 0;
  dp[2][1] = 0;
  dp[2][2] = 1;
  // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i][1] = dp[i - 1][2];
    dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
  }
  return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.rs
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
fn climbing_stairs_constraint_dp(n: usize) -> i32 {
    if n == 1 || n == 2 {
        return 1;
    };
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    let mut dp = vec![vec![-1; 3]; n + 1];
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in 3..=n {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.c
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i] = calloc(3, sizeof(int));
    }
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    int res = dp[n][1] + dp[n][2];
    // 释放内存
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    free(dp);
    return res;
}
climbing_stairs_constraint_dp.kt
/* 带约束爬楼梯:动态规划 */
fun climbingStairsConstraintDP(n: Int): Int {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    val dp = Array(n + 1) { IntArray(3) }
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1
    dp[1][2] = 0
    dp[2][1] = 0
    dp[2][2] = 1
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (i in 3..n) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.rb
### 带约束爬楼梯:动态规划 ###
def climbing_stairs_constraint_dp(n)
  return 1 if n == 1 || n == 2

  # 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(3, 0) }
  # 初始状态:预设最小子问题的解
  dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
  dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
  # 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
  for i in 3...(n + 1)
    dp[i][1] = dp[i - 1][2]
    dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
  end

  dp[n][1] + dp[n][2]
end
climbing_stairs_constraint_dp.zig
// 带约束爬楼梯:动态规划
fn climbingStairsConstraintDP(comptime n: usize) i32 {
    if (n == 1 or n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表,用于存储子问题的解
    var dp = [_][3]i32{ [_]i32{ -1, -1, -1 } } ** (n + 1);
    // 初始状态:预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移:从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
可视化运行

在上面的案例中,由于仅需多考虑前面一个状态,因此我们仍然可以通过扩展状态定义,使得问题重新满足无后效性。然而,某些问题具有非常严重的“有后效性”。

爬楼梯与障碍生成

给定一个共有 \(n\) 阶的楼梯,你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶。规定当爬到第 \(i\) 阶时,系统自动会在第 \(2i\) 阶上放上障碍物,之后所有轮都不允许跳到第 \(2i\) 阶上。例如,前两轮分别跳到了第 \(2\)\(3\) 阶上,则之后就不能跳到第 \(4\)\(6\) 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶?

在这个问题中,下次跳跃依赖过去所有的状态,因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍,并影响未来的跳跃。对于这类问题,动态规划往往难以解决。

实际上,许多复杂的组合优化问题(例如旅行商问题)不满足无后效性。对于这类问题,我们通常会选择使用其他方法,例如启发式搜索、遗传算法、强化学习等,从而在有限时间内得到可用的局部最优解。

欢迎在评论区留下你的见解、问题或建议