15.5 小结
- 贪心算法通常用于解决最优化问题，其原理是在每个决策阶段都做出局部最优的决策，以期获得全局最优解。
- 贪心算法会迭代地做出一个又一个的贪心选择，每轮都将问题转化成一个规模更小的子问题，直到问题被解决。
- 贪心算法不仅实现简单，还具有很高的解题效率。相比于动态规划，贪心算法的时间复杂度通常更低。
- 在零钱兑换问题中，对于某些硬币组合，贪心算法可以保证找到最优解；对于另外一些硬币组合则不然，贪心算法可能找到很差的解。
- 适合用贪心算法求解的问题具有两大性质：贪心选择性质和最优子结构。贪心选择性质代表贪心策略的有效性。
- 对于某些复杂问题，贪心选择性质的证明并不简单。相对来说，证伪更加容易，例如零钱兑换问题。
- 求解贪心问题主要分为三步：问题分析、确定贪心策略、正确性证明。其中，确定贪心策略是核心步骤，正确性证明往往是难点。
- 分数背包问题在 0-1 背包的基础上，允许选择物品的一部分，因此可使用贪心算法求解。贪心策略的正确性可以使用反证法来证明。
- 最大容量问题可使用穷举法求解，时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。通过设计贪心策略，每轮向内移动短板，可将时间复杂度优化至 \(O(n)\) 。
- 在最大切分乘积问题中，我们先后推理出两个贪心策略：\(\geq 4\) 的整数都应该继续切分，最优切分因子为 \(3\) 。代码中包含幂运算，时间复杂度取决于幂运算实现方法，通常为 \(O(1)\) 或 \(O(\log n)\) 。