14.7 Резюме¶
1. Ключевые выводы¶
- Динамическое программирование раскладывает задачу на подзадачи и повышает вычислительную эффективность за счет хранения решений этих подзадач и устранения повторных вычислений.
- Если не учитывать затраты времени, то любую задачу динамического программирования можно решить с помощью backtracking (полного перебора), однако в дереве рекурсии возникает множество перекрывающихся подзадач, из-за чего эффективность крайне низка. После введения таблицы памяти можно хранить решения всех уже вычисленных подзадач и гарантировать, что каждая перекрывающаяся подзадача будет вычисляться только один раз.
- Поиск с мемоизацией - это рекурсивный метод "сверху вниз", а соответствующее ему динамическое программирование - это итеративный метод "снизу вверх", похожий на заполнение таблицы. Поскольку текущее состояние обычно зависит только от части локальных состояний, можно убрать одно измерение таблицы \(dp\) и тем самым снизить пространственную сложность.
- Разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в divide and conquer, динамическом программировании и backtracking он имеет разные свойства.
- Для задач динамического программирования характерны три главных свойства: перекрывающиеся подзадачи, оптимальная подструктура и отсутствие последствий.
- Если оптимальное решение исходной задачи можно построить из оптимальных решений подзадач, то задача обладает оптимальной подструктурой.
- Отсутствие последствий означает, что для данного состояния его дальнейшее развитие определяется только этим состоянием и не зависит от всех прошлых состояний. Многие задачи комбинаторной оптимизации этим свойством не обладают и потому не могут эффективно решаться с помощью динамического программирования.
Задачи о рюкзаке
- Задача о рюкзаке - один из самых типичных классов задач динамического программирования; она включает варианты 0-1 рюкзака, полного рюкзака, многократного рюкзака и другие.
- В задаче о рюкзаке 0-1 состояние определяется как максимальная стоимость первых \(i\) предметов в рюкзаке вместимости \(c\) . Рассматривая два решения - не брать предмет и брать предмет, - можно получить оптимальную подструктуру и вывести уравнение перехода состояния. При оптимизации памяти, поскольку каждое состояние зависит от значения сверху и слева сверху, внутренний цикл нужно выполнять в обратном порядке, чтобы не перезаписать нужное значение.
- В задаче о полном рюкзаке число экземпляров каждого предмета не ограничено, поэтому при выборе предмета переход состояния отличается от варианта 0-1. Поскольку состояние зависит от значения сверху и слева, после оптимизации памяти внутренний цикл следует выполнять в прямом порядке.
- Задача о размене монет - это вариант задачи о полном рюкзаке. Здесь вместо "максимальной стоимости" ищется "минимальное число монет", поэтому в уравнении перехода \(\max()\) заменяется на \(\min()\) . Кроме того, вместо условия "не превышать вместимость рюкзака" нужно ровно набрать целевую сумму, поэтому значение \(amt + 1\) используется как обозначение недопустимого решения "сумму набрать нельзя".
- В задаче о размене монет II вместо "минимального числа монет" требуется найти "число комбинаций монет", поэтому в уравнении перехода оператор \(\min()\) заменяется на суммирование.
Задача о расстоянии редактирования
- Расстояние редактирования (расстояние Левенштейна) используется для измерения сходства двух строк и определяется как минимальное число операций редактирования, необходимых для преобразования одной строки в другую; допустимые операции - вставка, удаление и замена.
- В задаче о расстоянии редактирования состояние определяется как минимальное число шагов редактирования, необходимых для преобразования первых \(i\) символов строки \(s\) в первые \(j\) символов строки \(t\) . Если \(s[i] \ne t[j]\) , то существуют три решения: вставка, удаление и замена, и каждому из них соответствует своя остаточная подзадача. На этой основе выводятся оптимальная подструктура и уравнение перехода состояния. Если же \(s[i] = t[j]\) , то редактировать текущий символ не нужно.
- В задаче о расстоянии редактирования состояние зависит от значений сверху, слева и слева сверху. Поэтому после оптимизации памяти ни прямой, ни обратный обход сам по себе не дает корректного перехода состояния. Для решения этой проблемы значение слева сверху временно сохраняется в отдельной переменной, что делает ситуацию эквивалентной задаче о полном рюкзаке и позволяет использовать прямой обход.