12.4 ハノイの塔問題¶
マージソートと二分木構築の両方で、元の問題を2つの部分問題に分解し、それぞれが元の問題のサイズの半分でした。しかし、ハノイの塔では、異なる分解戦略を採用します。
Question
3つの柱があり、それぞれ A、B、C と表記されます。最初、柱 A には \(n\) 枚の円盤があり、上から下に向かって昇順のサイズで配置されています。私たちのタスクは、これらの \(n\) 枚の円盤を柱 C に移動し、元の順序を維持することです（以下の図に示すように）。移動中には以下のルールが適用されます：
- 円盤は柱の上部からのみ取り除くことができ、別の柱の上部に置く必要があります。
- 一度に移動できるのは1枚の円盤のみです。
- 小さい円盤は常に大きい円盤の上にある必要があります。
図 12-10 ハノイの塔の例
サイズ \(i\) のハノイの塔問題を \(f(i)\) と表記します。例えば、\(f(3)\) は3枚の円盤を柱 A から柱 C に移動することを表します。
1. 基本ケースを考える¶
以下の図に示すように、問題 \(f(1)\)（円盤が1枚のみ）については、A から C に直接移動できます。
図 12-11 サイズ1の問題の解
\(f(2)\)（円盤が2枚）については、**柱 B の助けを借りて小さい円盤を大きい円盤の上に保つ**必要があります。以下の図に示すように：
- まず、小さい円盤を
AからBに移動します。 - 次に、大きい円盤を
AからCに移動します。 - 最後に、小さい円盤を
BからCに移動します。
図 12-12 サイズ2の問題の解
\(f(2)\) を解決する過程は次のように要約できます：B の助けを借りて2枚の円盤を A から C に移動する。ここで、C をターゲット柱、B をバッファ柱と呼びます。
2. 部分問題の分解¶
問題 \(f(3)\)（つまり、円盤が3枚の場合）については、状況がやや複雑になります。
すでに \(f(1)\) と \(f(2)\) の解が分かっているので、分割統治の観点を採用し、A の上の2枚の円盤を1つの単位として扱い、以下の図に示すステップを実行できます。これにより、3枚の円盤を A から C に正常に移動できます。
Bをターゲット柱、Cをバッファ柱として、2枚の円盤をAからBに移動します。- 残りの円盤を
Aから直接Cに移動します。 Cをターゲット柱、Aをバッファ柱として、2枚の円盤をBからCに移動します。
図 12-13 サイズ3の問題の解
本質的に、\(f(3)\) を2つの \(f(2)\) 部分問題と1つの \(f(1)\) 部分問題に分解します。これら3つの部分問題を順次解決することで、元の問題が解決され、部分問題が独立しており、それらの解をマージできることを示しています。
ここから、以下の図に示すハノイの塔の分割統治戦略を要約できます。元の問題 \(f(n)\) を2つの部分問題 \(f(n-1)\) と1つの部分問題 \(f(1)\) に分割し、以下の順序でこれら3つの部分問題を解決します：
Cをバッファとして使用し、\(n-1\) 枚の円盤をAからBに移動します。- 残りの円盤を
Aから直接Cに移動します。 Aをバッファとして使用し、\(n-1\) 枚の円盤をBからCに移動します。
各 \(f(n-1)\) 部分問題について、同じ再帰分割を適用でき、最小の部分問題 \(f(1)\) に到達するまで続けます。\(f(1)\) は単一の移動のみが必要であることがすでに分かっているため、解決するのは簡単です。
図 12-14 ハノイの塔を解決するための分割統治戦略
3. コード実装¶
コードでは、再帰関数 dfs(i, src, buf, tar) を定義します。これは柱 src から上の \(i\) 枚の円盤を柱 tar に移動し、柱 buf をバッファとして使用します：
def move(src: list[int], tar: list[int]):
"""円盤を移動"""
# src の上から円盤を取り出す
pan = src.pop()
# 円盤を tar の上に置く
tar.append(pan)
def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
"""ハノイの塔問題 f(i) を解く"""
# src に円盤が 1 つだけ残っている場合、それを tar に移動
if i == 1:
move(src, tar)
return
# 部分問題 f(i-1)：tar の助けを借りて src の上の i-1 個の円盤を buf に移動
dfs(i - 1, src, tar, buf)
# 部分問題 f(1)：残りの 1 個の円盤を src から tar に移動
move(src, tar)
# 部分問題 f(i-1)：src の助けを借りて buf の上の i-1 個の円盤を tar に移動
dfs(i - 1, buf, src, tar)
def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
"""ハノイの塔問題を解く"""
n = len(A)
# B の助けを借りて A の上の n 個の円盤を C に移動
dfs(n, A, B, C)
/* 円盤を移動 */
void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
// src の最上部から円盤を取り出す
int pan = src.back();
src.pop_back();
// 円盤を tar の最上部に配置
tar.push_back(pan);
}
/* ハノイの塔問題 f(i) を解く */
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
// src に円盤が1つだけ残っている場合、それを tar に移動
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 部分問題 f(i-1)：tar の助けを借りて、上位 i-1 個の円盤を src から buf に移動
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 部分問題 f(1)：残りの1つの円盤を src から tar に移動
move(src, tar);
// 部分問題 f(i-1)：src の助けを借りて、上位 i-1 個の円盤を buf から tar に移動
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* ハノイの塔問題を解く */
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
int n = A.size();
// B の助けを借りて、上位 n 個の円盤を A から C に移動
dfs(n, A, B, C);
}
/* 円盤を移動 */
void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
// src の最上部から円盤を取り出す
Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
// 円盤を tar の最上部に配置
tar.add(pan);
}
/* ハノイの塔問題 f(i) を解く */
void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
// src に円盤が1つだけ残っている場合、それを tar に移動
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 部分問題 f(i-1)：tar の助けを借りて、上位 i-1 個の円盤を src から buf に移動
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 部分問題 f(1)：残りの1つの円盤を src から tar に移動
move(src, tar);
// 部分問題 f(i-1)：src の助けを借りて、上位 i-1 個の円盤を buf から tar に移動
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* ハノイの塔問題を解く */
void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
int n = A.size();
// B の助けを借りて、上位 n 個の円盤を A から C に移動
dfs(n, A, B, C);
}
以下の図に示すように、ハノイの塔問題は高さ \(n\) の再帰木として視覚化できます。各ノードは部分問題を表し、dfs() の呼び出しに対応します。したがって、時間計算量は \(O(2^n)\)、空間計算量は \(O(n)\) です。
図 12-15 ハノイの塔の再帰木
Quote
ハノイの塔は古代の伝説に由来します。古代インドの寺院で、僧侶たちは3本の高いダイヤモンドの柱と、異なるサイズの \(64\) 枚の金の円盤を持っていました。彼らは、最後の円盤が正しく置かれたとき、世界が終わると信じていました。
しかし、僧侶たちが1秒に1枚の円盤を移動したとしても、約 \(2^{64} \approx 1.84×10^{19}\) —約5850億年—かかり、宇宙の年齢の現在の推定をはるかに超えています。したがって、この伝説が真実であれば、世界の終わりについて心配する必要はおそらくないでしょう。