13.2 Задача о перестановках¶
Задача о перестановках является типичным применением алгоритма поиска с возвратом. Ее определение состоит в том, чтобы для данного множества элементов (например, массива или строки) найти все возможные перестановки этих элементов.
В таблице 13-2 приведено несколько примеров входных массивов и соответствующих им перестановок.
Таблица 13-2 Примеры перестановок
| Входной массив | Все перестановки |
|---|---|
| \([1]\) | \([1]\) |
| \([1, 2]\) | \([1, 2], [2, 1]\) |
| \([1, 2, 3]\) | \([1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]\) |
13.2.1 Случай без равных элементов¶
Question
Дан массив целых чисел, в котором нет повторяющихся элементов. Верните все возможные перестановки.
С точки зрения backtracking процесс построения перестановок можно представить как результат последовательности выборов. Пусть входной массив равен \([1, 2, 3]\) ; если мы сначала выберем \(1\) , затем \(3\) , а потом \(2\) , то получим перестановку \([1, 3, 2]\) . Откат означает отмену одного из выборов с последующей попыткой других вариантов.
С точки зрения кода backtracking множество кандидатов choices состоит из всех элементов входного массива, а состояние state - из элементов, уже выбранных к текущему моменту. Обратите внимание, что каждый элемент разрешено выбирать только один раз, поэтому все элементы в state должны быть уникальны.
Как показано на рисунке 13-5, процесс поиска можно развернуть в дерево рекурсии, где каждый узел представляет текущее состояние state . Начиная от корня, после трех раундов выбора мы попадаем в листья, и каждый лист соответствует одной перестановке.
Рисунок 13-5 Дерево рекурсии для перестановок
1. Обрезка повторного выбора¶
Чтобы гарантировать, что каждый элемент выбирается только один раз, введем булев массив selected , где selected[i] обозначает, был ли уже выбран choices[i] , и на его основе выполним следующую обрезку.
- После того как сделан выбор
choice[i], мы присваиваемselected[i]значение \(\text{True}\) , тем самым отмечая, что этот элемент уже выбран. - При обходе списка вариантов
choicesпропускаем все уже выбранные элементы, то есть выполняем обрезку.
Как показано на рисунке 13-6, если в первом раунде мы выберем 1 , во втором - 3 , а в третьем - 2 , то во втором раунде нужно отсечь ветвь элемента 1 , а в третьем - ветви элементов 1 и 3 .
Рисунок 13-6 Пример обрезки в задаче о перестановках
Из рисунка видно, что такая обрезка уменьшает размер пространства поиска с \(O(n^n)\) до \(O(n!)\) .
2. Реализация кода¶
После прояснения всей логики можно просто "заполнить пропуски" в шаблоне backtracking. Чтобы сократить общий объем кода, мы не будем отдельно реализовывать каждую функцию из каркаса, а раскроем их прямо внутри backtrack() :
permutations_i.py
def backtrack(
state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
"""Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I"""
# Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if len(state) == len(choices):
res.append(list(state))
return
# Перебор всех вариантов выбора
for i, choice in enumerate(choices):
# Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if not selected[i]:
# Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = True
state.append(choice)
# Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res)
# Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = False
state.pop()
def permutations_i(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
"""Все перестановки I"""
res = []
backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
return res
permutations_i.cpp
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.size() == choices.size()) {
res.push_back(state);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state.push_back(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop_back();
}
}
}
/* Все перестановки I */
vector<vector<int>> permutationsI(vector<int> nums) {
vector<int> state;
vector<bool> selected(nums.size(), false);
vector<vector<int>> res;
backtrack(state, nums, selected, res);
return res;
}
permutations_i.java
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.size() == choices.length) {
res.add(new ArrayList<Integer>(state));
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state.add(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.remove(state.size() - 1);
}
}
}
/* Все перестановки I */
List<List<Integer>> permutationsI(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
return res;
}
permutations_i.cs
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.Count == choices.Length) {
res.Add(new List<int>(state));
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state.Add(choice);
// Перейти к следующему выбору
Backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.RemoveAt(state.Count - 1);
}
}
}
/* Все перестановки I */
List<List<int>> PermutationsI(int[] nums) {
List<List<int>> res = [];
Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
return res;
}
permutations_i.go
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
func backtrackI(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if len(*state) == len(*choices) {
newState := append([]int{}, *state...)
*res = append(*res, newState)
}
// Перебор всех вариантов выбора
for i := 0; i < len(*choices); i++ {
choice := (*choices)[i]
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if !(*selected)[i] {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
(*selected)[i] = true
*state = append(*state, choice)
// Перейти к следующему выбору
backtrackI(state, choices, selected, res)
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
(*selected)[i] = false
*state = (*state)[:len(*state)-1]
}
}
}
/* Все перестановки I */
func permutationsI(nums []int) [][]int {
res := make([][]int, 0)
state := make([]int, 0)
selected := make([]bool, len(nums))
backtrackI(&state, &nums, &selected, &res)
return res
}
permutations_i.swift
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if state.count == choices.count {
res.append(state)
return
}
// Перебор всех вариантов выбора
for (i, choice) in choices.enumerated() {
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if !selected[i] {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true
state.append(choice)
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false
state.removeLast()
}
}
}
/* Все перестановки I */
func permutationsI(nums: [Int]) -> [[Int]] {
var state: [Int] = []
var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
var res: [[Int]] = []
backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
return res
}
permutations_i.js
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
choices.forEach((choice, i) => {
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state.push(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* Все перестановки I */
function permutationsI(nums) {
const res = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
permutations_i.ts
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
function backtrack(
state: number[],
choices: number[],
selected: boolean[],
res: number[][]
): void {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
choices.forEach((choice, i) => {
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state.push(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* Все перестановки I */
function permutationsI(nums: number[]): number[][] {
const res: number[][] = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
permutations_i.dart
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
void backtrack(
List<int> state,
List<int> choices,
List<bool> selected,
List<List<int>> res,
) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.length == choices.length) {
res.add(List.from(state));
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state.add(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.removeLast();
}
}
}
/* Все перестановки I */
List<List<int>> permutationsI(List<int> nums) {
List<List<int>> res = [];
backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
return res;
}
permutations_i.rs
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if state.len() == choices.len() {
res.push(state);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
for i in 0..choices.len() {
let choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if !selected[i] {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state.push(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop();
}
}
}
/* Все перестановки I */
fn permutations_i(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut res = Vec::new(); // Состояние (подмножество)
backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
res
}
permutations_i.c
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (stateSize == choicesSize) {
res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
res[*resSize][i] = state[i];
}
(*resSize)++;
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true;
state[stateSize] = choice;
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
}
}
}
/* Все перестановки I */
int **permutationsI(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
selected[i] = false;
}
int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
*returnSize = 0;
backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);
free(state);
free(selected);
return res;
}
permutations_i.kt
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I */
fun backtrack(
state: MutableList<Int>,
choices: IntArray,
selected: BooleanArray,
res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.size == choices.size) {
res.add(state.toMutableList())
return
}
// Перебор всех вариантов выбора
for (i in choices.indices) {
val choice = choices[i]
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
if (!selected[i]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true
state.add(choice)
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res)
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false
state.removeAt(state.size - 1)
}
}
}
/* Все перестановки I */
fun permutationsI(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
return res
}
permutations_i.rb
### Алгоритм бэктрекинга: все перестановки I ###
def backtrack(state, choices, selected, res)
# Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if state.length == choices.length
res << state.dup
return
end
# Перебор всех вариантов выбора
choices.each_with_index do |choice, i|
# Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно
unless selected[i]
# Попытка: сделать выбор и обновить состояние
selected[i] = true
state << choice
# Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res)
# Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false
state.pop
end
end
end
### Все перестановки I ###
def permutations_i(nums)
res = []
backtrack([], nums, Array.new(nums.length, false), res)
res
end
Визуализация кода
13.2.2 Учет равных элементов¶
Question
Дан массив целых чисел, который может содержать повторяющиеся элементы. Верните все неповторяющиеся перестановки.
Пусть входной массив равен \([1, 1, 2]\) . Чтобы различать два одинаковых элемента \(1\) , будем обозначать второй из них как \(\hat{1}\) .
Как показано на рисунке 13-7, описанный выше метод создаст результат, половина которого окажется дублирующейся.
Рисунок 13-7 Повторяющиеся перестановки
Как же убрать повторяющиеся перестановки? Самый прямолинейный способ - воспользоваться хеш-множеством и удалить дубликаты уже после генерации результата. Но это не слишком изящно, потому что ветви поиска, порождающие дубликаты, вообще не нужно посещать: их следует распознавать заранее и отсекать, что дополнительно повышает эффективность алгоритма.
1. Обрезка равных элементов¶
Посмотрите на рисунок 13-8: в первом раунде выбрать \(1\) или выбрать \(\hat{1}\) - это одно и то же, а значит, все перестановки, полученные из этих двух выборов, будут дублироваться. Поэтому ветвь \(\hat{1}\) нужно отсечь.
Точно так же, если в первом раунде выбрать \(2\) , то во втором раунде выборы \(1\) и \(\hat{1}\) снова создадут дублирующиеся ветви, поэтому и в этом случае ветвь \(\hat{1}\) нужно отсечь.
По своей сути наша цель заключается в том, чтобы на каждом раунде выбора каждый из нескольких равных элементов выбирался только один раз.
Рисунок 13-8 Обрезка повторяющихся перестановок
2. Реализация кода¶
На основе решения из предыдущей задачи можно на каждом раунде выбора заводить хеш-множество duplicated , которое будет записывать элементы, уже встречавшиеся в этом раунде, и отсекать повторы:
permutations_ii.py
def backtrack(
state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
"""Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II"""
# Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if len(state) == len(choices):
res.append(list(state))
return
# Перебор всех вариантов выбора
duplicated = set[int]()
for i, choice in enumerate(choices):
# Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if not selected[i] and choice not in duplicated:
# Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.add(choice) # Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = True
state.append(choice)
# Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res)
# Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = False
state.pop()
def permutations_ii(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
"""Все перестановки II"""
res = []
backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
return res
permutations_ii.cpp
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.size() == choices.size()) {
res.push_back(state);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
unordered_set<int> duplicated;
for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.emplace(choice); // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state.push_back(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop_back();
}
}
}
/* Все перестановки II */
vector<vector<int>> permutationsII(vector<int> nums) {
vector<int> state;
vector<bool> selected(nums.size(), false);
vector<vector<int>> res;
backtrack(state, nums, selected, res);
return res;
}
permutations_ii.java
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.size() == choices.length) {
res.add(new ArrayList<Integer>(state));
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.add(choice); // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state.add(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.remove(state.size() - 1);
}
}
}
/* Все перестановки II */
List<List<Integer>> permutationsII(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
return res;
}
permutations_ii.cs
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.Count == choices.Length) {
res.Add(new List<int>(state));
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
HashSet<int> duplicated = [];
for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && !duplicated.Contains(choice)) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.Add(choice); // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state.Add(choice);
// Перейти к следующему выбору
Backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.RemoveAt(state.Count - 1);
}
}
}
/* Все перестановки II */
List<List<int>> PermutationsII(int[] nums) {
List<List<int>> res = [];
Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
return res;
}
permutations_ii.go
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
func backtrackII(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if len(*state) == len(*choices) {
newState := append([]int{}, *state...)
*res = append(*res, newState)
}
// Перебор всех вариантов выбора
duplicated := make(map[int]struct{}, 0)
for i := 0; i < len(*choices); i++ {
choice := (*choices)[i]
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if _, ok := duplicated[choice]; !ok && !(*selected)[i] {
// Попробовать: сделать выбор, обновить состояние
// Записать значение уже выбранного элемента
duplicated[choice] = struct{}{}
(*selected)[i] = true
*state = append(*state, choice)
// Перейти к следующему выбору
backtrackII(state, choices, selected, res)
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
(*selected)[i] = false
*state = (*state)[:len(*state)-1]
}
}
}
/* Все перестановки II */
func permutationsII(nums []int) [][]int {
res := make([][]int, 0)
state := make([]int, 0)
selected := make([]bool, len(nums))
backtrackII(&state, &nums, &selected, &res)
return res
}
permutations_ii.swift
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if state.count == choices.count {
res.append(state)
return
}
// Перебор всех вариантов выбора
var duplicated: Set<Int> = []
for (i, choice) in choices.enumerated() {
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if !selected[i], !duplicated.contains(choice) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.insert(choice) // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true
state.append(choice)
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false
state.removeLast()
}
}
}
/* Все перестановки II */
func permutationsII(nums: [Int]) -> [[Int]] {
var state: [Int] = []
var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
var res: [[Int]] = []
backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
return res
}
permutations_ii.js
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
const duplicated = new Set();
choices.forEach((choice, i) => {
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.add(choice); // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state.push(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* Все перестановки II */
function permutationsII(nums) {
const res = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
permutations_ii.ts
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
function backtrack(
state: number[],
choices: number[],
selected: boolean[],
res: number[][]
): void {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
const duplicated = new Set();
choices.forEach((choice, i) => {
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.add(choice); // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state.push(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* Все перестановки II */
function permutationsII(nums: number[]): number[][] {
const res: number[][] = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
permutations_ii.dart
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
void backtrack(
List<int> state,
List<int> choices,
List<bool> selected,
List<List<int>> res,
) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.length == choices.length) {
res.add(List.from(state));
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
Set<int> duplicated = {};
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.add(choice); // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state.add(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.removeLast();
}
}
}
/* Все перестановки II */
List<List<int>> permutationsII(List<int> nums) {
List<List<int>> res = [];
backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
return res;
}
permutations_ii.rs
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if state.len() == choices.len() {
res.push(state);
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
let mut duplicated = HashSet::<i32>::new();
for i in 0..choices.len() {
let choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if !selected[i] && !duplicated.contains(&choice) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.insert(choice); // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state.push(choice);
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
state.pop();
}
}
}
/* Все перестановки II */
fn permutations_ii(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut res = Vec::new();
backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
res
}
permutations_ii.c
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (stateSize == choicesSize) {
res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
res[*resSize][i] = state[i];
}
(*resSize)++;
return;
}
// Перебор всех вариантов выбора
bool duplicated[MAX_SIZE] = {false};
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
int choice = choices[i];
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && !duplicated[choice]) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated[choice] = true; // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true;
state[stateSize] = choice;
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false;
}
}
}
/* Все перестановки II */
int **permutationsII(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
selected[i] = false;
}
int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
*returnSize = 0;
backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);
free(state);
free(selected);
return res;
}
permutations_ii.kt
/* Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II */
fun backtrack(
state: MutableList<Int>,
choices: IntArray,
selected: BooleanArray,
res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
// Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if (state.size == choices.size) {
res.add(state.toMutableList())
return
}
// Перебор всех вариантов выбора
val duplicated = HashSet<Int>()
for (i in choices.indices) {
val choice = choices[i]
// Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
// Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.add(choice) // Записать значения уже выбранных элементов
selected[i] = true
state.add(choice)
// Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res)
// Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false
state.removeAt(state.size - 1)
}
}
}
/* Все перестановки II */
fun permutationsII(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
return res
}
permutations_ii.rb
### Алгоритм бэктрекинга: все перестановки II ###
def backtrack(state, choices, selected, res)
# Когда длина состояния равна числу элементов, записать решение
if state.length == choices.length
res << state.dup
return
end
# Перебор всех вариантов выбора
duplicated = Set.new
choices.each_with_index do |choice, i|
# Отсечение: нельзя выбирать один и тот же элемент повторно и нельзя повторно выбирать равные элементы
if !selected[i] && !duplicated.include?(choice)
# Попытка: сделать выбор и обновить состояние
duplicated.add(choice)
selected[i] = true
state << choice
# Перейти к следующему выбору
backtrack(state, choices, selected, res)
# Откат: отменить выбор и восстановить предыдущее состояние
selected[i] = false
state.pop
end
end
end
### Все перестановки II ###
def permutations_ii(nums)
res = []
backtrack([], nums, Array.new(nums.length, false), res)
res
end
Визуализация кода
Если предположить, что все элементы попарно различны, то из \(n\) элементов можно получить \(n!\) перестановок; при записи результата требуется копировать список длины \(n\) , что занимает \(O(n)\) времени. Следовательно, временная сложность равна \(O(n!n)\) .
Максимальная глубина рекурсии равна \(n\) , что требует \(O(n)\) стековой памяти. Массив selected занимает \(O(n)\) пространства. Одновременно может существовать до \(n\) хеш-множеств duplicated , что дает \(O(n^2)\) памяти. Следовательно, пространственная сложность равна \(O(n^2)\) .
3. Сравнение двух видов обрезки¶
Обратите внимание: хотя и selected , и duplicated используются для обрезки, их цели различаются.
- Обрезка повторного выбора: во всем процессе поиска существует только один
selected. Он записывает, какие элементы уже входят в текущее состояние, и нужен для того, чтобы один и тот же элемент не появлялся вstateдважды. - Обрезка равных элементов: каждый раунд выбора (каждый вызов
backtrack) содержит собственныйduplicated. Он записывает, какие элементы уже выбирались в текущем раунде (forцикле), и нужен для того, чтобы равные элементы выбирались только один раз.
На рисунке 13-9 показана область действия двух условий обрезки. Помните, что каждый узел дерева соответствует одному выбору, а путь от корня до листа образует одну перестановку.
Рисунок 13-9 Область действия двух условий обрезки