Перейти к содержанию

7.2   Обход двоичного дерева

С точки зрения физической структуры дерево представляет собой разновидность структуры данных на основе связей, поэтому его обход выполняется через последовательный доступ к узлам по указателям. Однако дерево является нелинейной структурой данных, а значит, его обход сложнее, чем обход связного списка, и для него требуется использовать поисковые алгоритмы.

К распространенным способам обхода двоичного дерева относятся обход по уровням, прямой обход, симметричный обход и обратный обход.

7.2.1   Обход по уровням

Как показано на рисунке 7-9, обход по уровням (level-order traversal) проходит двоичное дерево сверху вниз по уровням и на каждом уровне посещает узлы слева направо.

По своей сути обход по уровням относится к обходу в ширину (breadth-first traversal), также называемому поиском в ширину (breadth-first search, BFS); он отражает идею "расширяться слой за слоем наружу".

Обход двоичного дерева по уровням

Рисунок 7-9   Обход двоичного дерева по уровням

1.   Код реализации

Обход в ширину обычно реализуется с помощью "очереди". Очередь подчиняется правилу "первым пришел - первым вышел", а обход в ширину подчиняется правилу "продвигаться по уровням", поэтому стоящая за ними идея согласована. Код реализации приведен ниже:

binary_tree_bfs.py
def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
    """Обход в ширину"""
    # Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    queue: deque[TreeNode] = deque()
    queue.append(root)
    # Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    res = []
    while queue:
        node: TreeNode = queue.popleft()  # Извлечение из очереди
        res.append(node.val)  # Сохранить значение узла
        if node.left is not None:
            queue.append(node.left)  # Поместить левый дочерний узел в очередь
        if node.right is not None:
            queue.append(node.right)  # Поместить правый дочерний узел в очередь
    return res
binary_tree_bfs.cpp
/* Обход в ширину */
vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    queue<TreeNode *> queue;
    queue.push(root);
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    vector<int> vec;
    while (!queue.empty()) {
        TreeNode *node = queue.front();
        queue.pop();              // Извлечение из очереди
        vec.push_back(node->val); // Сохранить значение узла
        if (node->left != nullptr)
            queue.push(node->left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
        if (node->right != nullptr)
            queue.push(node->right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
    }
    return vec;
}
binary_tree_bfs.java
/* Обход в ширину */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(root);
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode node = queue.poll(); // Извлечение из очереди
        list.add(node.val);           // Сохранить значение узла
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left);   // Поместить левый дочерний узел в очередь
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right);  // Поместить правый дочерний узел в очередь
    }
    return list;
}
binary_tree_bfs.cs
/* Обход в ширину */
List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    Queue<TreeNode> queue = new();
    queue.Enqueue(root);
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    List<int> list = [];
    while (queue.Count != 0) {
        TreeNode node = queue.Dequeue(); // Извлечение из очереди
        list.Add(node.val!.Value);       // Сохранить значение узла
        if (node.left != null)
            queue.Enqueue(node.left);    // Поместить левый дочерний узел в очередь
        if (node.right != null)
            queue.Enqueue(node.right);   // Поместить правый дочерний узел в очередь
    }
    return list;
}
binary_tree_bfs.go
/* Обход в ширину */
func levelOrder(root *TreeNode) []any {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    queue := list.New()
    queue.PushBack(root)
    // Инициализировать срез для хранения последовательности обхода
    nums := make([]any, 0)
    for queue.Len() > 0 {
        // Извлечение из очереди
        node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
        // Сохранить значение узла
        nums = append(nums, node.Val)
        if node.Left != nil {
            // Поместить левый дочерний узел в очередь
            queue.PushBack(node.Left)
        }
        if node.Right != nil {
            // Поместить правый дочерний узел в очередь
            queue.PushBack(node.Right)
        }
    }
    return nums
}
binary_tree_bfs.swift
/* Обход в ширину */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    var queue: [TreeNode] = [root]
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    var list: [Int] = []
    while !queue.isEmpty {
        let node = queue.removeFirst() // Извлечение из очереди
        list.append(node.val) // Сохранить значение узла
        if let left = node.left {
            queue.append(left) // Поместить левый дочерний узел в очередь
        }
        if let right = node.right {
            queue.append(right) // Поместить правый дочерний узел в очередь
        }
    }
    return list
}
binary_tree_bfs.js
/* Обход в ширину */
function levelOrder(root) {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    const queue = [root];
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    const list = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift(); // Извлечение из очереди
        list.push(node.val); // Сохранить значение узла
        if (node.left) queue.push(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
        if (node.right) queue.push(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
    }
    return list;
}
binary_tree_bfs.ts
/* Обход в ширину */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    const queue = [root];
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    const list: number[] = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift() as TreeNode; // Извлечение из очереди
        list.push(node.val); // Сохранить значение узла
        if (node.left) {
            queue.push(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
        }
        if (node.right) {
            queue.push(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
        }
    }
    return list;
}
binary_tree_bfs.dart
/* Обход в ширину */
List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
  // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
  Queue<TreeNode?> queue = Queue();
  queue.add(root);
  // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
  List<int> res = [];
  while (queue.isNotEmpty) {
    TreeNode? node = queue.removeFirst(); // Извлечение из очереди
    res.add(node!.val); // Сохранить значение узла
    if (node.left != null) queue.add(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
    if (node.right != null) queue.add(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
  }
  return res;
}
binary_tree_bfs.rs
/* Обход в ширину */
fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(root.clone());
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    let mut vec = Vec::new();

    while let Some(node) = que.pop_front() {
        // Извлечение из очереди
        vec.push(node.borrow().val); // Сохранить значение узла
        if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
            que.push_back(left.clone()); // Поместить левый дочерний узел в очередь
        }
        if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
            que.push_back(right.clone()); // Поместить правый дочерний узел в очередь
        };
    }
    vec
}
binary_tree_bfs.c
/* Обход в ширину */
int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
    /* Вспомогательная очередь */
    int front, rear;
    int index, *arr;
    TreeNode *node;
    TreeNode **queue;

    /* Вспомогательная очередь */
    queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
    // Указатель очереди
    front = 0, rear = 0;
    // Добавить корневой узел
    queue[rear++] = root;
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    /* Вспомогательный массив */
    arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
    // Указатель на массив
    index = 0;
    while (front < rear) {
        // Извлечение из очереди
        node = queue[front++];
        // Сохранить значение узла
        arr[index++] = node->val;
        if (node->left != NULL) {
            // Поместить левый дочерний узел в очередь
            queue[rear++] = node->left;
        }
        if (node->right != NULL) {
            // Поместить правый дочерний узел в очередь
            queue[rear++] = node->right;
        }
    }
    // Обновить значение длины массива
    *size = index;
    arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));

    // Освободить память вспомогательного массива
    free(queue);
    return arr;
}
binary_tree_bfs.kt
/* Обход в ширину */
fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList<Int> {
    // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
    val queue = LinkedList<TreeNode?>()
    queue.add(root)
    // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
    val list = mutableListOf<Int>()
    while (queue.isNotEmpty()) {
        val node = queue.poll()      // Извлечение из очереди
        list.add(node?._val!!)       // Сохранить значение узла
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left)   // Поместить левый дочерний узел в очередь
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right)  // Поместить правый дочерний узел в очередь
    }
    return list
}
binary_tree_bfs.rb
### Обход в ширину ###
def level_order(root)
  # Инициализировать очередь и добавить корневой узел
  queue = [root]
  # Инициализировать список для хранения последовательности обхода
  res = []
  while !queue.empty?
    node = queue.shift # Извлечение из очереди
    res << node.val # Сохранить значение узла
    queue << node.left unless node.left.nil? # Поместить левый дочерний узел в очередь
    queue << node.right unless node.right.nil? # Поместить правый дочерний узел в очередь
  end
  res
end
Визуализация кода

2.   Анализ сложности

  • Временная сложность равна \(O(n)\) : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется \(O(n)\) времени, где \(n\) - число узлов.
  • Пространственная сложность равна \(O(n)\) : в худшем случае, то есть для полной двоичной деревообразной структуры, до достижения самого нижнего уровня в очереди одновременно может находиться до \((n + 1) / 2\) узлов, что требует \(O(n)\) памяти.

7.2.2   Прямой, симметричный и обратный обходы

Соответственно, прямой, симметричный и обратный обходы относятся к обходу в глубину (depth-first traversal), также называемому поиском в глубину (depth-first search, DFS); он отражает идею "сначала идти до конца, затем откатываться и продолжать".

На рисунке 7-10 показан принцип работы обхода двоичного дерева в глубину. Обход в глубину похож на то, как будто мы обходим всю двоичную структуру по внешнему контуру , и у каждого узла встречаем три позиции, соответствующие прямому, симметричному и обратному обходам.

Прямой, симметричный и обратный обходы двоичного дерева поиска

Рисунок 7-10   Прямой, симметричный и обратный обходы двоичного дерева поиска

1.   Код реализации

Поиск в глубину обычно реализуется через рекурсию:

binary_tree_dfs.py
def pre_order(root: TreeNode | None):
    """Предварительный обход"""
    if root is None:
        return
    # Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    res.append(root.val)
    pre_order(root=root.left)
    pre_order(root=root.right)

def in_order(root: TreeNode | None):
    """Симметричный обход"""
    if root is None:
        return
    # Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    in_order(root=root.left)
    res.append(root.val)
    in_order(root=root.right)

def post_order(root: TreeNode | None):
    """Обратный обход"""
    if root is None:
        return
    # Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    post_order(root=root.left)
    post_order(root=root.right)
    res.append(root.val)
binary_tree_dfs.cpp
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    vec.push_back(root->val);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(root->left);
    vec.push_back(root->val);
    inOrder(root->right);
}

/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    vec.push_back(root->val);
}
binary_tree_dfs.java
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    list.add(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(root.left);
    list.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.add(root.val);
}
binary_tree_dfs.cs
/* Предварительный обход */
void PreOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    list.Add(root.val!.Value);
    PreOrder(root.left);
    PreOrder(root.right);
}

/* Симметричный обход */
void InOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    InOrder(root.left);
    list.Add(root.val!.Value);
    InOrder(root.right);
}

/* Обратный обход */
void PostOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    PostOrder(root.left);
    PostOrder(root.right);
    list.Add(root.val!.Value);
}
binary_tree_dfs.go
/* Предварительный обход */
func preOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    nums = append(nums, node.Val)
    preOrder(node.Left)
    preOrder(node.Right)
}

/* Симметричный обход */
func inOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(node.Left)
    nums = append(nums, node.Val)
    inOrder(node.Right)
}

/* Обратный обход */
func postOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(node.Left)
    postOrder(node.Right)
    nums = append(nums, node.Val)
}
binary_tree_dfs.swift
/* Предварительный обход */
func preOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    list.append(root.val)
    preOrder(root: root.left)
    preOrder(root: root.right)
}

/* Симметричный обход */
func inOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(root: root.left)
    list.append(root.val)
    inOrder(root: root.right)
}

/* Обратный обход */
func postOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(root: root.left)
    postOrder(root: root.right)
    list.append(root.val)
}
binary_tree_dfs.js
/* Предварительный обход */
function preOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* Симметричный обход */
function inOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* Обратный обход */
function postOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}
binary_tree_dfs.ts
/* Предварительный обход */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* Симметричный обход */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* Обратный обход */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}
binary_tree_dfs.dart
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
  list.add(node.val);
  preOrder(node.left);
  preOrder(node.right);
}

/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
  inOrder(node.left);
  list.add(node.val);
  inOrder(node.right);
}

/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
  postOrder(node.left);
  postOrder(node.right);
  list.add(node.val);
}
binary_tree_dfs.rs
/* Предварительный обход */
fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
        if let Some(node) = root {
            // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
            let node = node.borrow();
            res.push(node.val);
            dfs(node.left.as_ref(), res);
            dfs(node.right.as_ref(), res);
        }
    }
    dfs(root, &mut result);

    result
}

/* Симметричный обход */
fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
        if let Some(node) = root {
            // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
            let node = node.borrow();
            dfs(node.left.as_ref(), res);
            res.push(node.val);
            dfs(node.right.as_ref(), res);
        }
    }
    dfs(root, &mut result);

    result
}

/* Обратный обход */
fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
        if let Some(node) = root {
            // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
            let node = node.borrow();
            dfs(node.left.as_ref(), res);
            dfs(node.right.as_ref(), res);
            res.push(node.val);
        }
    }

    dfs(root, &mut result);

    result
}
binary_tree_dfs.c
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    arr[(*size)++] = root->val;
    preOrder(root->left, size);
    preOrder(root->right, size);
}

/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(root->left, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
    inOrder(root->right, size);
}

/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(root->left, size);
    postOrder(root->right, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
}
binary_tree_dfs.kt
/* Предварительный обход */
fun preOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
    list.add(root._val)
    preOrder(root.left)
    preOrder(root.right)
}

/* Симметричный обход */
fun inOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
    inOrder(root.left)
    list.add(root._val)
    inOrder(root.right)
}

/* Обратный обход */
fun postOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
    postOrder(root.left)
    postOrder(root.right)
    list.add(root._val)
}
binary_tree_dfs.rb
### Предварительный обход ###
def pre_order(root)
  return if root.nil?

  # Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
  $res << root.val
  pre_order(root.left)
  pre_order(root.right)
end

### Симметричный обход ###
def in_order(root)
  return if root.nil?

  # Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
  in_order(root.left)
  $res << root.val
  in_order(root.right)
end

### Обратный обход ###
def post_order(root)
  return if root.nil?

  # Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
  post_order(root.left)
  post_order(root.right)
  $res << root.val
end
Визуализация кода

Tip

Поиск в глубину можно реализовать и итеративно; заинтересованные читатели могут изучить это самостоятельно.

На рисунках ниже показан рекурсивный процесс прямого обхода двоичного дерева. Его можно разделить на две противоположные части: "вход в рекурсию" и "возврат".

  1. "Вход в рекурсию" означает запуск нового вызова функции; в этом процессе программа переходит к следующему узлу.
  2. "Возврат" означает завершение вызова функции и возврат назад, то есть текущий узел уже полностью обработан.

Рекурсивный процесс прямого обхода

preorder_step2

preorder_step3

preorder_step4

preorder_step5

preorder_step6

preorder_step7

preorder_step8

preorder_step9

preorder_step10

preorder_step11

Рисунок 7-11   Рекурсивный процесс прямого обхода

2.   Анализ сложности

  • Временная сложность равна \(O(n)\) : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется \(O(n)\) времени.
  • Пространственная сложность равна \(O(n)\) : в худшем случае, когда дерево вырождается в связный список, глубина рекурсии достигает \(n\) , и система тратит \(O(n)\) памяти на стек вызовов.
Оставляйте свои идеи, вопросы и предложения в комментариях