7.7 练习¶
7.7.1 知识巩固¶
1. 完全、完满与完美二叉树¶
下面两个数组按层序表示二叉树，None 表示空位：
- 树 A：
[1, 2, 3, 4, 5, 6] - 树 B：
[1, 2, 3, None, None, 6, 7]
- 哪一棵是完全二叉树？
- 哪一棵是完满二叉树，即每个非叶节点都有两个子节点？
- 两棵树中是否有完美二叉树？分别说明理由。
参考答案
-
树 A 是完全二叉树。它只有最底层未填满，并且节点从左到右连续排列。 树 B 不是完全二叉树，因为最底层左侧已有空位，右侧却仍有节点。
-
树 B 是完满二叉树：节点 1 和节点 3 各有两个子节点，其余节点都是叶节点。 树 A 不是完满二叉树，因为节点 3 只有左子节点 6。
-
两棵都不是完美二叉树，因为它们的最底层都没有完全填满。
2. 同一棵树的三种遍历顺序¶
将数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 按层序存入一棵完全二叉树。
- 画出这棵树。
- 写出它的前序、中序、后序遍历序列。
- 在中序序列中，根节点 1 左侧和右侧的两段序列，分别对应树的哪一部分？
参考答案
-
这棵树为：
-
前序遍历为
1, 2, 4, 5, 3, 6, 7； 中序遍历为4, 2, 5, 1, 6, 3, 7； 后序遍历为4, 5, 2, 6, 7, 3, 1。 -
根节点 1 左侧的
4, 2, 5是左子树的中序遍历序列； 右侧的6, 3, 7是右子树的中序遍历序列。
3. 比较两棵二叉搜索树¶
将下面两组序列从左到右依次插入空的二叉搜索树：
- 序列 A：
[4, 2, 6, 1, 3, 5, 7] - 序列 B：
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
- 分别写出查找数字 7 时经过的节点。
- 若高度按根节点到最远叶节点经过的边数计算，两棵树的高度分别是多少？
- 根据前两问，你认为两棵树查找数字 7 时的效率是否相同？请结合两棵树的形状和查找路径说明理由。
参考答案
-
序列 A 建成的树中，查找路径为
4 → 6 → 7； 序列 B 建成的树中，查找路径为1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7。 -
第一棵树的每一层都填满，高度为 2；第二棵树只有右孩子，高度为 6。
-
两棵树查找 7 时的效率不同。插入顺序改变了二叉搜索树的形状和高度。查找 7 时，第一棵树只经过 3 个节点， 第二棵树则要依次经过 7 个节点；树越高，最坏情况下需要沿路径比较的节点就越多。
7.7.2 编程练习¶
1. 二叉树的最大深度¶
给定一棵二叉树的根节点 root。每个节点都包含一个整数值，以及指向左、右子节点的引用。
把从根节点到最远叶节点经过的**节点数**称为二叉树的最大深度。请返回这棵树的最大深度；空树的最大深度为 0。 请使用递归完成。
解题提示
- 本题按节点数计算深度：只有一个根节点时，最大深度为 1
- 让递归函数返回以当前节点为根的子树的最大深度
- 空节点返回 0，非空节点返回 max(depth(left), depth(right)) + 1
2. 按层遍历二叉树¶
给定一棵二叉树的根节点 root。请使用队列从上到下逐层访问所有节点，同一层内按照从左到右的顺序访问。
返回一个二维数组：第一个子数组保存根节点所在层的节点值，第二个子数组保存下一层的节点值，依此类推。 若二叉树为空，返回空数组。
解题提示
- 层序遍历需要先进入的节点先访问，因此使用队列
- 一轮开始时队列中的节点正好属于同一层
- 先记录队列长度，再弹出这么多个节点并加入它们的孩子
3. 二叉搜索树中的第 k 小元素¶
一棵二叉搜索树共有 n 个节点，各节点值互不相同。
将所有节点值从小到大排列后，位置从 1 开始编号。
给定根节点 root 和满足 1 <= k <= n 的整数 k，请返回排在第 k 位的节点值。
请在中序遍历过程中直接寻找答案，不先收集全部节点值。
解题提示
- 二叉搜索树的中序遍历会按从小到大的顺序访问节点值
- 中序遍历依次处理左子树、当前节点和右子树；访问当前节点时把计数加 1
- 当计数第一次等于 k 时，当前节点值就是答案，此后无须继续遍历