12.3 Задача построения двоичного дерева¶

Question

Даны прямой обход preorder и симметричный обход inorder некоторого двоичного дерева. Постройте по ним двоичное дерево и верните его корневой узел. Предполагается, что в дереве нет узлов с одинаковыми значениями (как показано на рисунке 12-5).

Пример данных для построения двоичного дерева

Рисунок 12-5 Пример данных для построения двоичного дерева

1. Проверка, является ли это задачей divide and conquer¶

Исходная задача - построить двоичное дерево по preorder и inorder - является типичной задачей divide and conquer.

Задача раскладывается на части: если смотреть с точки зрения divide and conquer, исходную задачу можно разбить на две подзадачи: построение левого поддерева и построение правого поддерева, плюс одно действие: инициализация корневого узла. Для каждого поддерева (подзадачи) можно использовать тот же способ разбиения, пока не будет достигнута наименьшая подзадача (пустое поддерево).
Подзадачи независимы: левое и правое поддеревья независимы друг от друга и не пересекаются. При построении левого поддерева нам нужно смотреть только на ту часть прямого и симметричного обходов, которая соответствует левому поддереву. Для правого поддерева рассуждение аналогично.
Решения подзадач можно объединить: когда левое и правое поддеревья (решения подзадач) уже построены, их можно присоединить к корневому узлу и тем самым получить решение исходной задачи.

2. Как разделить поддеревья¶

Из анализа выше видно, что эта задача действительно решается через divide and conquer, но как именно, имея прямой обход preorder и симметричный обход inorder, разделить левое и правое поддеревья?

По определению и preorder , и inorder можно разбить на три части.

Прямой обход: [ корневой узел | левое поддерево | правое поддерево ] , например для дерева на рисунке 12-5 это [ 3 | 9 | 2 1 7 ] .
Симметричный обход: [ левое поддерево | корневой узел | правое поддерево ] , например для дерева на рисунке 12-5 это [ 9 | 3 | 1 2 7 ] .

На примере данных с рисунка можно получить результат разбиения по следующим шагам.

Первый элемент прямого обхода, равный 3, является значением корневого узла.
Найти индекс корневого узла 3 в inorder ; используя этот индекс, можно разбить inorder на [ 9 | 3 | 1 2 7 ] .
По результату разбиения inorder нетрудно определить, что число узлов в левом и правом поддеревьях равно 1 и 3 соответственно, а значит, preorder можно разбить как [ 3 | 9 | 2 1 7 ] .

Разбиение поддеревьев в прямом и симметричном обходах

Рисунок 12-6 Разбиение поддеревьев в прямом и симметричном обходах

3. Описание интервалов поддеревьев через переменные¶

Согласно описанному выше способу разбиения, мы уже получили интервалы индексов корневого узла, левого и правого поддеревьев в preorder и inorder. Чтобы описывать эти интервалы, нам понадобится несколько указателей-переменных.

Обозначим индекс корневого узла текущего дерева в preorder через \(i\) .
Обозначим индекс корневого узла текущего дерева в inorder через \(m\) .
Обозначим интервал индексов текущего дерева в inorder через \([l, r]\) .

Как показано в таблице 12-1, этих переменных достаточно для описания индекса корневого узла в preorder и интервалов поддеревьев в inorder .

Таблица 12-1 Индексы корневого узла и поддеревьев в прямом и симметричном обходах

	Индекс корневого узла в `preorder`	Интервал индексов поддерева в `inorder`
Текущее дерево	\(i\)	\([l, r]\)
Левое поддерево	\(i + 1\)	\([l, m-1]\)
Правое поддерево	\(i + 1 + (m - l)\)	\([m+1, r]\)

Обратите внимание, что \((m-l)\) в индексе корневого узла правого поддерева означает "число узлов в левом поддереве"; лучше всего понимать это выражение вместе с рисунком ниже.

Представление индексных интервалов корня и поддеревьев

Рисунок 12-7 Представление индексных интервалов корня и поддеревьев

4. Реализация кода¶

Чтобы ускорить поиск \(m\) , мы используем хеш-таблицу hmap для хранения отображения значений массива inorder в индексы:

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRuby

build_tree.py

def dfs(
    preorder: list[int],
    inorder_map: dict[int, int],
    i: int,
    l: int,
    r: int,
) -> TreeNode | None:
    """Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй"""
    # Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if r - l < 0:
        return None
    # Инициализировать корневой узел
    root = TreeNode(preorder[i])
    # Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    m = inorder_map[preorder[i]]
    # Подзадача: построить левое поддерево
    root.left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1)
    # Подзадача: построить правое поддерево
    root.right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r)
    # Вернуть корневой узел
    return root

def build_tree(preorder: list[int], inorder: list[int]) -> TreeNode | None:
    """Построить двоичное дерево"""
    # Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    inorder_map = {val: i for i, val in enumerate(inorder)}
    root = dfs(preorder, inorder_map, 0, 0, len(inorder) - 1)
    return root

build_tree.cpp

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
TreeNode *dfs(vector<int> &preorder, unordered_map<int, int> &inorderMap, int i, int l, int r) {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if (r - l < 0)
        return NULL;
    // Инициализировать корневой узел
    TreeNode *root = new TreeNode(preorder[i]);
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    int m = inorderMap[preorder[i]];
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root->left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root->right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // Вернуть корневой узел
    return root;
}

/* Построить двоичное дерево */
TreeNode *buildTree(vector<int> &preorder, vector<int> &inorder) {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    unordered_map<int, int> inorderMap;
    for (int i = 0; i < inorder.size(); i++) {
        inorderMap[inorder[i]] = i;
    }
    TreeNode *root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.size() - 1);
    return root;
}

build_tree.java

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
TreeNode dfs(int[] preorder, Map<Integer, Integer> inorderMap, int i, int l, int r) {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if (r - l < 0)
        return null;
    // Инициализировать корневой узел
    TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]);
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    int m = inorderMap.get(preorder[i]);
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // Вернуть корневой узел
    return root;
}

/* Построить двоичное дерево */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    Map<Integer, Integer> inorderMap = new HashMap<>();
    for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
        inorderMap.put(inorder[i], i);
    }
    TreeNode root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}

build_tree.cs

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
TreeNode? DFS(int[] preorder, Dictionary<int, int> inorderMap, int i, int l, int r) {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if (r - l < 0)
        return null;
    // Инициализировать корневой узел
    TreeNode root = new(preorder[i]);
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    int m = inorderMap[preorder[i]];
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.left = DFS(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.right = DFS(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // Вернуть корневой узел
    return root;
}

/* Построить двоичное дерево */
TreeNode? BuildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    Dictionary<int, int> inorderMap = [];
    for (int i = 0; i < inorder.Length; i++) {
        inorderMap.TryAdd(inorder[i], i);
    }
    TreeNode? root = DFS(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.Length - 1);
    return root;
}

build_tree.go

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
func dfsBuildTree(preorder []int, inorderMap map[int]int, i, l, r int) *TreeNode {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if r-l < 0 {
        return nil
    }
    // Инициализировать корневой узел
    root := NewTreeNode(preorder[i])
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    m := inorderMap[preorder[i]]
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.Left = dfsBuildTree(preorder, inorderMap, i+1, l, m-1)
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.Right = dfsBuildTree(preorder, inorderMap, i+1+m-l, m+1, r)
    // Вернуть корневой узел
    return root
}

/* Построить двоичное дерево */
func buildTree(preorder, inorder []int) *TreeNode {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    inorderMap := make(map[int]int, len(inorder))
    for i := 0; i < len(inorder); i++ {
        inorderMap[inorder[i]] = i
    }

    root := dfsBuildTree(preorder, inorderMap, 0, 0, len(inorder)-1)
    return root
}

build_tree.swift

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
func dfs(preorder: [Int], inorderMap: [Int: Int], i: Int, l: Int, r: Int) -> TreeNode? {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if r - l < 0 {
        return nil
    }
    // Инициализировать корневой узел
    let root = TreeNode(x: preorder[i])
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    let m = inorderMap[preorder[i]]!
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.left = dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: i + 1, l: l, r: m - 1)
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.right = dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: i + 1 + m - l, l: m + 1, r: r)
    // Вернуть корневой узел
    return root
}

/* Построить двоичное дерево */
func buildTree(preorder: [Int], inorder: [Int]) -> TreeNode? {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    let inorderMap = inorder.enumerated().reduce(into: [:]) { $0[$1.element] = $1.offset }
    return dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: inorder.startIndex, l: inorder.startIndex, r: inorder.endIndex - 1)
}

build_tree.js

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
function dfs(preorder, inorderMap, i, l, r) {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if (r - l < 0) return null;
    // Инициализировать корневой узел
    const root = new TreeNode(preorder[i]);
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    const m = inorderMap.get(preorder[i]);
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // Вернуть корневой узел
    return root;
}

/* Построить двоичное дерево */
function buildTree(preorder, inorder) {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    let inorderMap = new Map();
    for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
        inorderMap.set(inorder[i], i);
    }
    const root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}

build_tree.ts

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
function dfs(
    preorder: number[],
    inorderMap: Map<number, number>,
    i: number,
    l: number,
    r: number
): TreeNode | null {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if (r - l < 0) return null;
    // Инициализировать корневой узел
    const root: TreeNode = new TreeNode(preorder[i]);
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    const m = inorderMap.get(preorder[i]);
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // Вернуть корневой узел
    return root;
}

/* Построить двоичное дерево */
function buildTree(preorder: number[], inorder: number[]): TreeNode | null {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    let inorderMap = new Map<number, number>();
    for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
        inorderMap.set(inorder[i], i);
    }
    const root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}

build_tree.dart

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
TreeNode? dfs(
  List<int> preorder,
  Map<int, int> inorderMap,
  int i,
  int l,
  int r,
) {
  // Завершить при пустом диапазоне поддерева
  if (r - l < 0) {
    return null;
  }
  // Инициализировать корневой узел
  TreeNode? root = TreeNode(preorder[i]);
  // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
  int m = inorderMap[preorder[i]]!;
  // Подзадача: построить левое поддерево
  root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
  // Подзадача: построить правое поддерево
  root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
  // Вернуть корневой узел
  return root;
}

/* Построить двоичное дерево */
TreeNode? buildTree(List<int> preorder, List<int> inorder) {
  // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
  Map<int, int> inorderMap = {};
  for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
    inorderMap[inorder[i]] = i;
  }
  TreeNode? root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
  return root;
}

build_tree.rs

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
fn dfs(
    preorder: &[i32],
    inorder_map: &HashMap<i32, i32>,
    i: i32,
    l: i32,
    r: i32,
) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if r - l < 0 {
        return None;
    }
    // Инициализировать корневой узел
    let root = TreeNode::new(preorder[i as usize]);
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    let m = inorder_map.get(&preorder[i as usize]).unwrap();
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.borrow_mut().left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1);
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.borrow_mut().right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // Вернуть корневой узел
    Some(root)
}

/* Построить двоичное дерево */
fn build_tree(preorder: &[i32], inorder: &[i32]) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    let mut inorder_map: HashMap<i32, i32> = HashMap::new();
    for i in 0..inorder.len() {
        inorder_map.insert(inorder[i], i as i32);
    }
    let root = dfs(preorder, &inorder_map, 0, 0, inorder.len() as i32 - 1);
    root
}

build_tree.c

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
TreeNode *dfs(int *preorder, int *inorderMap, int i, int l, int r, int size) {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if (r - l < 0)
        return NULL;
    // Инициализировать корневой узел
    TreeNode *root = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
    root->val = preorder[i];
    root->left = NULL;
    root->right = NULL;
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    int m = inorderMap[preorder[i]];
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root->left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1, size);
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root->right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r, size);
    // Вернуть корневой узел
    return root;
}

/* Построить двоичное дерево */
TreeNode *buildTree(int *preorder, int preorderSize, int *inorder, int inorderSize) {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    int *inorderMap = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
    for (int i = 0; i < inorderSize; i++) {
        inorderMap[inorder[i]] = i;
    }
    TreeNode *root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorderSize - 1, inorderSize);
    free(inorderMap);
    return root;
}

build_tree.kt

/* Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй */
fun dfs(
    preorder: IntArray,
    inorderMap: Map<Int?, Int?>,
    i: Int,
    l: Int,
    r: Int
): TreeNode? {
    // Завершить при пустом диапазоне поддерева
    if (r - l < 0) return null
    // Инициализировать корневой узел
    val root = TreeNode(preorder[i])
    // Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
    val m = inorderMap[preorder[i]]!!
    // Подзадача: построить левое поддерево
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1)
    // Подзадача: построить правое поддерево
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r)
    // Вернуть корневой узел
    return root
}

/* Построить двоичное дерево */
fun buildTree(preorder: IntArray, inorder: IntArray): TreeNode? {
    // Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
    val inorderMap = HashMap<Int?, Int?>()
    for (i in inorder.indices) {
        inorderMap[inorder[i]] = i
    }
    val root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.size - 1)
    return root
}

build_tree.rb

### Построить двоичное дерево: разделяй и властвуй ###
def dfs(preorder, inorder_map, i, l, r)
  # Завершить при пустом диапазоне поддерева
  return if r - l < 0

  # Инициализировать корневой узел
  root = TreeNode.new(preorder[i])
  # Найти m, чтобы разделить левое и правое поддеревья
  m = inorder_map[preorder[i]]
  # Подзадача: построить левое поддерево
  root.left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1)
  # Подзадача: построить правое поддерево
  root.right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r)

  # Вернуть корневой узел
  root
end

### Построить двоичное дерево ###
def build_tree(preorder, inorder)
  # Инициализировать хеш-таблицу для хранения соответствия элементов inorder их индексам
  inorder_map = {}
  inorder.each_with_index { |val, i| inorder_map[val] = i }
  dfs(preorder, inorder_map, 0, 0, inorder.length - 1)
end

Визуализация кода

Во весь экран >

На рисунке 12-8 показан рекурсивный процесс построения двоичного дерева: каждый узел создается в фазе "спуска", а каждое ребро (ссылка) формируется в фазе "подъема".

Рисунок 12-8 Рекурсивный процесс построения двоичного дерева

Результаты разбиения preorder и inorder внутри каждого рекурсивного вызова показаны на рисунке 12-9.

Результаты разбиения в каждом рекурсивном вызове

Рисунок 12-9 Результаты разбиения в каждом рекурсивном вызове

Пусть число узлов дерева равно \(n\) ; инициализация каждого узла (то есть выполнение одного рекурсивного вызова dfs() ) занимает \(O(1)\) времени. Следовательно, общая временная сложность равна \(O(n)\) .

Хеш-таблица хранит отображение значений inorder в индексы, поэтому ее пространственная сложность равна \(O(n)\) . В худшем случае, когда двоичное дерево вырождается в связный список, глубина рекурсии достигает \(n\) и требует \(O(n)\) памяти стека. Следовательно, общая пространственная сложность также равна \(O(n)\) .

12.3 Задача построения двоичного дерева¶

1. Проверка, является ли это задачей divide and conquer¶

2. Как разделить поддеревья¶

3. Описание интервалов поддеревьев через переменные¶

4. Реализация кода¶

Оставляйте свои идеи, вопросы и предложения в комментариях