Перейти к содержанию

7.1   Двоичное дерево

Двоичное дерево (binary tree) - это нелинейная структура данных, представляющая отношения порождения между "предками" и "потомками" и отражающая логику "разделения надвое". Подобно связному списку, базовой единицей двоичного дерева является узел; каждый узел содержит значение, ссылку на левого дочернего узла и ссылку на правого дочернего узла.

class TreeNode:
    """Класс узла двоичного дерева"""
    def __init__(self, val: int):
        self.val: int = val                # Значение узла
        self.left: TreeNode | None = None  # Ссылка на левого дочернего узла
        self.right: TreeNode | None = None # Ссылка на правого дочернего узла
/* Структура узла двоичного дерева */
struct TreeNode {
    int val;          // Значение узла
    TreeNode *left;   // Указатель на левого дочернего узла
    TreeNode *right;  // Указатель на правого дочернего узла
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
    int val;         // Значение узла
    TreeNode left;   // Ссылка на левого дочернего узла
    TreeNode right;  // Ссылка на правого дочернего узла
    TreeNode(int x) { val = x; }
}
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode(int? x) {
    public int? val = x;    // Значение узла
    public TreeNode? left;  // Ссылка на левого дочернего узла
    public TreeNode? right; // Ссылка на правого дочернего узла
}
/* Структура узла двоичного дерева */
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
/* Конструктор */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
    return &TreeNode{
        Left:  nil, // Указатель на левого дочернего узла
        Right: nil, // Указатель на правого дочернего узла
        Val:   v,   // Значение узла
    }
}
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
    var val: Int // Значение узла
    var left: TreeNode? // Ссылка на левого дочернего узла
    var right: TreeNode? // Ссылка на правого дочернего узла

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
    val; // Значение узла
    left; // Указатель на левого дочернего узла
    right; // Указатель на правого дочернего узла
    constructor(val, left, right) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val;
        this.left = left === undefined ? null : left;
        this.right = right === undefined ? null : right;
    }
}
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
    val: number;
    left: TreeNode | null;
    right: TreeNode | null;

    constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // Значение узла
        this.left = left === undefined ? null : left; // Ссылка на левого дочернего узла
        this.right = right === undefined ? null : right; // Ссылка на правого дочернего узла
    }
}
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
  int val;         // Значение узла
  TreeNode? left;  // Ссылка на левого дочернего узла
  TreeNode? right; // Ссылка на правого дочернего узла
  TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
}
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;

/* Структура узла двоичного дерева */
struct TreeNode {
    val: i32,                               // Значение узла
    left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,    // Ссылка на левого дочернего узла
    right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,   // Ссылка на правого дочернего узла
}

impl TreeNode {
    /* Конструктор */
    fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
        Rc::new(RefCell::new(Self {
            val,
            left: None,
            right: None
        }))
    }
}
/* Структура узла двоичного дерева */
typedef struct TreeNode {
    int val;                // Значение узла
    int height;             // Высота узла
    struct TreeNode *left;  // Указатель на левого дочернего узла
    struct TreeNode *right; // Указатель на правого дочернего узла
} TreeNode;

/* Конструктор */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
    TreeNode *node;

    node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
    node->val = val;
    node->height = 0;
    node->left = NULL;
    node->right = NULL;
    return node;
}
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode(val _val: Int) {  // Значение узла
    val left: TreeNode? = null   // Ссылка на левого дочернего узла
    val right: TreeNode? = null  // Ссылка на правого дочернего узла
}
### Класс узла двоичного дерева ###
class TreeNode
  attr_accessor :val    # Значение узла
  attr_accessor :left   # Ссылка на левого дочернего узла
  attr_accessor :right  # Ссылка на правого дочернего узла

  def initialize(val)
    @val = val
  end
end

Каждый узел имеет две ссылки (указателя), которые соответственно указывают на левого дочернего узла (left-child node) и правого дочернего узла (right-child node); данный узел называется родительским узлом (parent node) для этих двух дочерних узлов. Если задан некоторый узел двоичного дерева, то дерево, образованное его левым дочерним узлом и всеми узлами ниже него, называется левым поддеревом (left subtree) этого узла; аналогично определяется правое поддерево (right subtree).

В двоичном дереве, кроме листовых узлов, все остальные узлы содержат дочерние узлы и непустые поддеревья. Как показано на рисунке 7-1, если рассматривать "узел 2" как родительский, то его левым и правым дочерними узлами будут "узел 4" и "узел 5"; левое поддерево - это "узел 4 и дерево ниже него", а правое поддерево - это "узел 5 и дерево ниже него".

Родительский узел, дочерние узлы и поддеревья

Рисунок 7-1   Родительский узел, дочерние узлы и поддеревья

7.1.1   Распространенные термины двоичного дерева

Распространенные термины двоичного дерева показаны на рисунке 7-2.

  • Корневой узел (root node): узел, расположенный на верхнем уровне двоичного дерева и не имеющий родительского узла.
  • Листовой узел (leaf node): узел без дочерних узлов; оба его указателя направлены на None .
  • Ребро (edge): отрезок, соединяющий два узла, то есть ссылка (указатель) между узлами.
  • Уровень (level) узла: увеличивается сверху вниз; уровень корневого узла равен 1 .
  • Степень (degree) узла: число дочерних узлов данного узла. В двоичном дереве возможны степени 0, 1, 2 .
  • Высота (height) двоичного дерева: число ребер от корневого узла до самого удаленного листового узла.
  • Глубина (depth) узла: число ребер от корневого узла до данного узла.
  • Высота (height) узла: число ребер от самого удаленного листового узла до данного узла.

Распространенные термины двоичного дерева

Рисунок 7-2   Распространенные термины двоичного дерева

Tip

Обрати внимание: обычно под "высотой" и "глубиной" понимают "число пройденных ребер", но в некоторых задачах или учебниках их могут определять как "число пройденных узлов". В таком случае и высоту, и глубину нужно увеличить на 1 .

7.1.2   Базовые операции двоичного дерева

1.   Инициализация двоичного дерева

Как и в связном списке, сначала инициализируются узлы, а затем между ними строятся ссылки (указатели).

binary_tree.py
# Инициализация двоичного дерева
# Инициализация узлов
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
n4 = TreeNode(val=4)
n5 = TreeNode(val=5)
# Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
binary_tree.cpp
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
binary_tree.java
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.cs
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new(1);
TreeNode n2 = new(2);
TreeNode n3 = new(3);
TreeNode n4 = new(4);
TreeNode n5 = new(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.go
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
binary_tree.swift
// Инициализация узлов
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
let n4 = TreeNode(x: 4)
let n5 = TreeNode(x: 5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
binary_tree.js
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.ts
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.dart
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.rs
// Инициализация узлов
let n1 = TreeNode::new(1);
let n2 = TreeNode::new(2);
let n3 = TreeNode::new(3);
let n4 = TreeNode::new(4);
let n5 = TreeNode::new(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
binary_tree.c
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
binary_tree.kt
// Инициализация узлов
val n1 = TreeNode(1)
val n2 = TreeNode(2)
val n3 = TreeNode(3)
val n4 = TreeNode(4)
val n5 = TreeNode(5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
binary_tree.rb
# Инициализация двоичного дерева
# Инициализация узлов
n1 = TreeNode.new(1)
n2 = TreeNode.new(2)
n3 = TreeNode.new(3)
n4 = TreeNode.new(4)
n5 = TreeNode.new(5)
# Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
Визуализация выполнения

https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%28%D1%83%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B8%29%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

2.   Вставка и удаление узлов

Как и в связном списке, вставка и удаление узлов в двоичном дереве могут выполняться через изменение указателей. На рисунке 7-3 приведен пример.

Вставка и удаление узлов в двоичном дереве

Рисунок 7-3   Вставка и удаление узлов в двоичном дереве

binary_tree.py
# Вставка и удаление узлов
p = TreeNode(0)
# Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = p
p.left = n2
# Удалить узел P
n1.left = n2
binary_tree.cpp
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1->left = P;
P->left = n2;
// Удалить узел P
n1->left = n2;
// Освободить память
delete P;
binary_tree.java
TreeNode P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
binary_tree.cs
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode P = new(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
binary_tree.go
/* Вставка и удаление узлов */
// Вставить узел P между n1 -> n2
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// Удалить узел P
n1.Left = n2
binary_tree.swift
let P = TreeNode(x: 0)
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P
P.left = n2
// Удалить узел P
n1.left = n2
binary_tree.js
/* Вставка и удаление узлов */
let P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
binary_tree.ts
/* Вставка и удаление узлов */
const P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
binary_tree.dart
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
binary_tree.rs
let p = TreeNode::new(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
// Удалить узел p
n1.borrow_mut().left = Some(n2);
binary_tree.c
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode *P = newTreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1->left = P;
P->left = n2;
// Удалить узел P
n1->left = n2;
// Освободить память
free(P);
binary_tree.kt
val P = TreeNode(0)
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P
P.left = n2
// Удалить узел P
n1.left = n2
binary_tree.rb
# Вставка и удаление узлов
_p = TreeNode.new(0)
# Вставить узел _p между n1 -> n2
n1.left = _p
_p.left = n2
# Удалить узел
n1.left = n2
Визуализация выполнения

https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%28%D1%83%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B8%29%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0%20%D0%B8%20%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B2%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%20P%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20n1%20-%3E%20n2%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A3%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

Tip

Обрати внимание: вставка узла может изменить исходную логическую структуру двоичного дерева, а удаление узла обычно означает удаление этого узла вместе со всеми его поддеревьями. Поэтому в двоичном дереве операции вставки и удаления обычно являются частью более крупного набора операций, который и реализует осмысленное действие.

7.1.3   Распространенные типы двоичных деревьев

1.   Идеальное двоичное дерево

Как показано на рисунке 7-4, идеальное двоичное дерево (perfect binary tree) полностью заполнено на всех уровнях. В идеальном двоичном дереве степень листовых узлов равна \(0\) , а у всех остальных узлов степень равна \(2\) ; если высота дерева равна \(h\) , то общее число узлов равно \(2^{h+1} - 1\) , что образует стандартную экспоненциальную зависимость и отражает часто встречающееся в природе явление клеточного деления.

Tip

Обрати внимание: в китайскоязычном сообществе идеальное двоичное дерево часто называют полностью заполненным двоичным деревом.

Идеальное двоичное дерево

Рисунок 7-4   Идеальное двоичное дерево

2.   Полное двоичное дерево

Как показано на рисунке 7-5, полное двоичное дерево (complete binary tree) допускает неполное заполнение только на самом нижнем уровне, причем узлы этого уровня должны непрерывно заполняться слева направо. Обрати внимание: идеальное двоичное дерево тоже является полным двоичным деревом.

Полное двоичное дерево

Рисунок 7-5   Полное двоичное дерево

3.   Строгое двоичное дерево

Как показано на рисунке 7-6, строгое двоичное дерево (full binary tree) имеет у всех нелистовых узлов ровно двух дочерних узлов.

Строгое двоичное дерево

Рисунок 7-6   Строгое двоичное дерево

4.   Сбалансированное двоичное дерево

Как показано на рисунке 7-7, в сбалансированном двоичном дереве (balanced binary tree) для любого узла абсолютное значение разности высот левого и правого поддеревьев не превышает 1 .

Сбалансированное двоичное дерево

Рисунок 7-7   Сбалансированное двоичное дерево

7.1.4   Вырождение двоичного дерева

На рисунке 7-8 показаны идеальная структура двоичного дерева и вырожденная структура. Когда каждый уровень двоичного дерева полностью заполнен узлами, мы получаем "идеальное двоичное дерево"; когда же все узлы смещаются к одной стороне, двоичное дерево вырождается в "связный список".

  • Идеальное двоичное дерево соответствует лучшему случаю и позволяет полностью раскрыть преимущества двоичного дерева с точки зрения "разделяй и властвуй".
  • Связный список представляет противоположную крайность: все операции становятся линейными, а временная сложность деградирует до \(O(n)\) .

Лучший и худший случаи структуры двоичного дерева

Рисунок 7-8   Лучший и худший случаи структуры двоичного дерева

Как показано в таблице 7-1, в лучшем и худшем случаях число листовых узлов, общее число узлов, высота и другие характеристики двоичного дерева достигают максимума или минимума.

Таблица 7-1   Лучший и худший случаи структуры двоичного дерева

Идеальное двоичное дерево Связный список
Число узлов на уровне \(i\) \(2^{i-1}\) \(1\)
Число листьев у дерева высоты \(h\) \(2^h\) \(1\)
Общее число узлов у дерева высоты \(h\) \(2^{h+1} - 1\) \(h + 1\)
Высота дерева с \(n\) узлами \(\log_2 (n+1) - 1\) \(n - 1\)
Оставляйте свои идеи, вопросы и предложения в комментариях